Theorem climshft2 15629

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
climshft2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
climshft2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climshft2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ovexd 7443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
3		climshft2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
4		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climshft2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
7		eluzelz 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 1	eleq2s 2887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
10		fvex 6892	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐺) ∈ V
11	10	shftval4 15110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
12	6, 9, 11	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
13		climshft2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
14		fvi 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
17	16	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
18	17	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
19		addcom 11392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
20	6, 9, 19	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
21	16, 20	fveq12d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
23		climshft2.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))
24	22, 23	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25	1, 2, 3, 4, 24	climeq 15614	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
26	5	znegcld 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
27		climshft 15623	. . 3 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
28	26, 13, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
29	25, 28	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110   I cid 5553  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099  -cneg 11438  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858   shift cshi 15099   ⇝ cli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-shft 15100  df-clim 15535

This theorem is referenced by:  isercoll2  15716  divcnvshft  15905  divcnvlin  36120