Theorem climshft2 15505

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
climshft2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
climshft2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climshft2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ovexd 7393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
3		climshft2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
4		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climshft2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
7		eluzelz 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 1	eleq2s 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
10		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐺) ∈ V
11	10	shftval4 15000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
12	6, 9, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
13		climshft2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
14		fvi 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
17	16	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
18	17	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
19		addcom 11319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
20	6, 9, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
21	16, 20	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
22	12, 18, 21	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
23		climshft2.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))
24	22, 23	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25	1, 2, 3, 4, 24	climeq 15490	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
26	5	znegcld 12598	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
27		climshft 15499	. . 3 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
28	26, 13, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
29	25, 28	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   I cid 5518  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029  -cneg 11365  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   shift cshi 14989   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-shft 14990  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  isercoll2  15592  divcnvshft  15778  divcnvlin  35927