MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft2 15618
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
3 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
4 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climshft2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
65zcnd 12723 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelz 12888 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 1eleq2s 2859 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
98zcnd 12723 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
10 fvex 6919 . . . . . . 7 ( I ‘𝐺) ∈ V
1110shftval4 15116 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
126, 9, 11syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
13 climshft2.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝑋)
14 fvi 6985 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1716oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
1817fveq1d 6908 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
19 addcom 11447 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
206, 9, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
2116, 20fveq12d 6913 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
2212, 18, 213eqtr3d 2785 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
23 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
2422, 23eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
251, 2, 3, 4, 24climeq 15603 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
265znegcld 12724 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
27 climshft 15612 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2826, 13, 27syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2925, 28bitr3d 281 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   I cid 5577  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878   shift cshi 15105  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-shft 15106  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  isercoll2  15705  divcnvshft  15891  divcnvlin  35733
  Copyright terms: Public domain W3C validator