Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft2 14931
 Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ovexd 7170 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
3 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
4 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climshft2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
65zcnd 12076 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelz 12241 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 1eleq2s 2908 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
98zcnd 12076 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
10 fvex 6658 . . . . . . 7 ( I ‘𝐺) ∈ V
1110shftval4 14428 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
126, 9, 11syl2an 598 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
13 climshft2.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝑋)
14 fvi 6715 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1716oveq1d 7150 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
1817fveq1d 6647 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
19 addcom 10815 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
206, 9, 19syl2an 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
2116, 20fveq12d 6652 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
2212, 18, 213eqtr3d 2841 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
23 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
2422, 23eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
251, 2, 3, 4, 24climeq 14916 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
265znegcld 12077 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
27 climshft 14925 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2826, 13, 27syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2925, 28bitr3d 284 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   I cid 5424  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529  -cneg 10860  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231   shift cshi 14417   ⇝ cli 14833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-shft 14418  df-clim 14837 This theorem is referenced by:  isercoll2  15017  divcnvshft  15202  divcnvlin  33074
 Copyright terms: Public domain W3C validator