MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft2 15615
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
3 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
4 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climshft2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
65zcnd 12721 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelz 12886 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 1eleq2s 2857 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
98zcnd 12721 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
10 fvex 6920 . . . . . . 7 ( I ‘𝐺) ∈ V
1110shftval4 15113 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
126, 9, 11syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
13 climshft2.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝑋)
14 fvi 6985 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1716oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
1817fveq1d 6909 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
19 addcom 11445 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
206, 9, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
2116, 20fveq12d 6914 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
2212, 18, 213eqtr3d 2783 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
23 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
2422, 23eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
251, 2, 3, 4, 24climeq 15600 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
265znegcld 12722 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
27 climshft 15609 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2826, 13, 27syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2925, 28bitr3d 281 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   I cid 5582  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   + caddc 11156  -cneg 11491  cz 12611  cuz 12876   shift cshi 15102  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-shft 15103  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  isercoll2  15702  divcnvshft  15888  divcnvlin  35713
  Copyright terms: Public domain W3C validator