MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim3 15926
Description: The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim3.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
iprodclim3.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
iprodclim3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim3.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
iprodclim3 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑛,𝑦   𝑗,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑗,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦   𝑗,𝑍,𝑘   𝑛,𝑍,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodclim3.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15480 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 217 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 prodfc 15871 . . . 4 𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘𝑍 𝐴
5 iprodclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 iprodclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 iprodclim3.3 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
8 eqidd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
9 iprodclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
109fmpttd 7099 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelcdmda 7071 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
125, 6, 7, 8, 11iprod 15864 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
134, 12eqtr3id 2785 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
14 seqex 13950 . . . . . . 7 seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 iprodclim3.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fvres 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
18 fzssuz 13524 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1918, 5sseqtrri 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
20 resmpt 6027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 6879 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
2317, 22eqtr3di 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2423prodeq2i 15845 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
25 prodfc 15871 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2759 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
28 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2928, 5eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzuz 13479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3130, 5eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3231, 11sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3332adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3427, 29, 33fprodser 15875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3526, 34eqtr3id 2785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3616, 35eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 15, 1, 6, 36climeq 15493 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3837iotabidv 6516 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
39 df-fv 6540 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
40 df-fv 6540 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4138, 39, 403eqtr4g 2796 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4213, 41eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
433, 42breqtrrd 5169 1 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3944   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cres 5671  cio 6482  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  0cc0 11092   · cmul 11097  cz 12540  cuz 12804  ...cfz 13466  seqcseq 13948  cli 15410  cprod 15831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-prod 15832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator