MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim3 16033
Description: The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim3.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
iprodclim3.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
iprodclim3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim3.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
iprodclim3 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑛,𝑦   𝑗,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑗,𝑀   𝑦,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦   𝑗,𝑍,𝑘   𝑛,𝑍,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodclim3.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15587 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 218 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 prodfc 15978 . . . 4 𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘𝑍 𝐴
5 iprodclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 iprodclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 iprodclim3.3 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
8 eqidd 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
9 iprodclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
109fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
125, 6, 7, 8, 11iprod 15971 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
134, 12eqtr3id 2789 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
14 seqex 14041 . . . . . . 7 seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 iprodclim3.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fvres 6926 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
18 fzssuz 13602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1918, 5sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
20 resmpt 6057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 6908 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
2317, 22eqtr3di 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2423prodeq2i 15951 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
25 prodfc 15978 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2763 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
28 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2928, 5eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3130, 5eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3231, 11sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3332adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3427, 29, 33fprodser 15982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3526, 34eqtr3id 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3616, 35eqtr2d 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 15, 1, 6, 36climeq 15600 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3837iotabidv 6547 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
39 df-fv 6571 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
40 df-fv 6571 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4138, 39, 403eqtr4g 2800 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4213, 41eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
433, 42breqtrrd 5176 1 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  cio 6514  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cli 15517  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator