MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim3 16037
Description: The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim3.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
iprodclim3.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
iprodclim3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim3.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
iprodclim3 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,𝑘   𝑦,𝑀   𝑗,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘   𝜑,𝑛,𝑦   𝑗,𝑍,𝑘   𝑛,𝑍,𝑦,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim3
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodclim3.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15591 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 218 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 prodfc 15982 . . . 4 𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘𝑍 𝐴
5 iprodclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 iprodclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 iprodclim3.3 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑦))
8 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
9 iprodclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
109fmpttd 7134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
125, 6, 7, 8, 11iprod 15975 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
134, 12eqtr3id 2790 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))))
14 seqex 14045 . . . . . . 7 seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 iprodclim3.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fvres 6924 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
18 fzssuz 13606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1918, 5sseqtrri 4032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
20 resmpt 6054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 6906 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
2317, 22eqtr3di 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2423prodeq2i 15955 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
25 prodfc 15982 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
28 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2928, 5eleqtrdi 2850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzuz 13561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3130, 5eleqtrrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3231, 11sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3332adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3427, 29, 33fprodser 15986 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3526, 34eqtr3id 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3616, 35eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 15, 1, 6, 36climeq 15604 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3837iotabidv 6544 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
39 df-fv 6568 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
40 df-fv 6568 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4138, 39, 403eqtr4g 2801 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4213, 41eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
433, 42breqtrrd 5170 1 (𝜑𝐹 ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cres 5686  cio 6511  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  cli 15521  cprod 15940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator