MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim3 15941
Description: The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodclim3.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodclim3.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑦))
iprodclim3.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
iprodclim3.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
iprodclim3.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
iprodclim3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐴,𝑛,𝑦   𝑗,𝐹   𝑗,π‘˜,πœ‘   π‘˜,𝑛,πœ‘,𝑦   𝑗,𝑀   𝑦,𝑀   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑗,𝑍,π‘˜   𝑛,𝑍,𝑦   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(𝑦,π‘˜,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim3
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodclim3.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15495 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
4 prodfc 15886 . . . 4 βˆπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴
5 iprodclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 iprodclim3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 iprodclim3.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑦))
8 eqidd 2725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
9 iprodclim3.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109fmpttd 7106 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆβ„‚)
1110ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
125, 6, 7, 8, 11iprod 15879 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
134, 12eqtr3id 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
14 seqex 13965 . . . . . . 7 seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
16 iprodclim3.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fvres 6900 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
18 fzssuz 13539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1918, 5sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
20 resmpt 6027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 6882 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
2317, 22eqtr3di 2779 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
2423prodeq2i 15860 . . . . . . . . 9 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
25 prodfc 15886 . . . . . . . . 9 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2752 . . . . . . . 8 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
28 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2928, 5eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
30 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 5eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3231, 11sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
3332adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
3427, 29, 33fprodser 15890 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3526, 34eqtr3id 2778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3616, 35eqtr2d 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
375, 15, 1, 6, 36climeq 15508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ 𝐹 ⇝ π‘₯))
3837iotabidv 6517 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯))
39 df-fv 6541 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
40 df-fv 6541 . . . 4 ( ⇝ β€˜πΉ) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯)
4138, 39, 403eqtr4g 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜πΉ))
4213, 41eqtrd 2764 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜πΉ))
433, 42breqtrrd 5166 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666   β†Ύ cres 5668  β„©cio 6483  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  0cc0 11106   Β· cmul 11111  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963   ⇝ cli 15425  βˆcprod 15846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator