Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 43853
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 β„²π‘˜πœ‘
climexp.2 β„²π‘˜πΉ
climexp.3 β„²π‘˜π»
climexp.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climexp.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climexp.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climexp.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climexp.8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
climexp.9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
climexp.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climexp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climexp.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54expcn 24238 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
74cncfcn1 24277 . . . . 5 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
86, 7eleqtrrdi 2849 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9 climexp.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
10 climexp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15382 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 24266 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄))
14 eqidd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
15 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
1615oveq1d 7373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
1712, 3expcld 14052 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑁) ∈ β„‚)
1814, 16, 12, 17fvmptd 6956 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄) = (𝐴↑𝑁))
1913, 18breqtrd 5132 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
21 cnex 11133 . . . . 5 β„‚ ∈ V
2221mptex 7174 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V
231fvexi 6857 . . . . 5 𝑍 ∈ V
24 fex 7177 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
259, 23, 24sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
26 coexg 7867 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2722, 25, 26sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
28 eqidd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
29 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—))
3029oveq1d 7373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘₯↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
319ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
323adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3331, 32expcld 14052 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁) ∈ β„‚)
3428, 30, 31, 33fvmptd 6956 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
35 fvco3 6941 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
369, 35sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
37 climexp.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
38 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
3937, 38nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
40 climexp.3 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π»
41 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘—
4240, 41nffv 6853 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—)
43 climexp.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
4443, 41nffv 6853 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘—)
45 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β†‘
46 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘
4744, 45, 46nfov 7388 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4842, 47nfeq 2921 . . . . . 6 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4939, 48nfim 1900 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
50 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
5150anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
52 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜π‘—))
53 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
5453oveq1d 7373 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5552, 54eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) ↔ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)))
5651, 55imbi12d 345 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))))
57 climexp.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
5849, 56, 57chvarfv 2234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5934, 36, 583eqtr4rd 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
601, 20, 27, 2, 59climeq 15450 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁) ↔ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁)))
6119, 60mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β†‘cexp 13968   ⇝ cli 15367  TopOpenctopn 17304  β„‚fldccnfld 20799   Cn ccn 22578  β€“cnβ†’ccncf 24242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-cncf 24244
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  44329
  Copyright terms: Public domain W3C validator