Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 45620
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 𝑘𝜑
climexp.2 𝑘𝐹
climexp.3 𝑘𝐻
climexp.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
climexp.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climexp.6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climexp.7 (𝜑𝐹𝐴)
climexp.8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
climexp.9 (𝜑𝐻𝑉)
climexp.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climexp.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climexp.8 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54expcn 24896 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74cncfcn1 24937 . . . . 5 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
86, 7eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 climexp.6 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
10 climexp.7 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
11 climcl 15535 . . . . 5 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 24926 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴))
14 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
1615oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝑁) = (𝐴𝑁))
1712, 3expcld 14186 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
1814, 16, 12, 17fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴) = (𝐴𝑁))
1913, 18breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (𝜑𝐻𝑉)
21 cnex 11236 . . . . 5 ℂ ∈ V
2221mptex 7243 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V
231fvexi 6920 . . . . 5 𝑍 ∈ V
24 fex 7246 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
259, 23, 24sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
26 coexg 7951 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2722, 25, 26sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
28 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
29 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → 𝑥 = (𝐹𝑗))
3029oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → (𝑥𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
319ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
323adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3331, 32expcld 14186 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)↑𝑁) ∈ ℂ)
3428, 30, 31, 33fvmptd 7023 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
35 fvco3 7008 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
369, 35sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
37 climexp.1 . . . . . . 7 𝑘𝜑
38 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
3937, 38nfan 1899 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
40 climexp.3 . . . . . . . 8 𝑘𝐻
41 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
4240, 41nffv 6916 . . . . . . 7 𝑘(𝐻𝑗)
43 climexp.2 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
4443, 41nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑗)
45 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘
46 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
4744, 45, 46nfov 7461 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑗)↑𝑁)
4842, 47nfeq 2919 . . . . . 6 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)
4939, 48nfim 1896 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
50 eleq1w 2824 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
5150anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
52 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
53 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
5453oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)↑𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
5552, 54eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)))
5651, 55imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))))
57 climexp.10 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
5849, 56, 57chvarfv 2240 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
5934, 36, 583eqtr4rd 2788 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗))
601, 20, 27, 2, 59climeq 15603 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐴𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁)))
6119, 60mpbird 257 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102  cli 15520  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   Cn ccn 23232  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  46096
  Copyright terms: Public domain W3C validator