Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 45022
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 β„²π‘˜πœ‘
climexp.2 β„²π‘˜πΉ
climexp.3 β„²π‘˜π»
climexp.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climexp.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climexp.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climexp.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climexp.8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
climexp.9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
climexp.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climexp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climexp.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54expcn 24810 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
74cncfcn1 24851 . . . . 5 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
86, 7eleqtrrdi 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9 climexp.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
10 climexp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15483 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 24840 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄))
14 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
15 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
1615oveq1d 7441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
1712, 3expcld 14150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑁) ∈ β„‚)
1814, 16, 12, 17fvmptd 7017 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄) = (𝐴↑𝑁))
1913, 18breqtrd 5178 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
21 cnex 11227 . . . . 5 β„‚ ∈ V
2221mptex 7241 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V
231fvexi 6916 . . . . 5 𝑍 ∈ V
24 fex 7244 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
259, 23, 24sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
26 coexg 7943 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2722, 25, 26sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
28 eqidd 2729 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
29 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—))
3029oveq1d 7441 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘₯↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
319ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
323adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3331, 32expcld 14150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁) ∈ β„‚)
3428, 30, 31, 33fvmptd 7017 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
35 fvco3 7002 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
369, 35sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
37 climexp.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
38 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
3937, 38nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
40 climexp.3 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π»
41 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘—
4240, 41nffv 6912 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—)
43 climexp.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
4443, 41nffv 6912 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘—)
45 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β†‘
46 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘
4744, 45, 46nfov 7456 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4842, 47nfeq 2913 . . . . . 6 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4939, 48nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
50 eleq1w 2812 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
5150anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
52 fveq2 6902 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜π‘—))
53 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
5453oveq1d 7441 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5552, 54eqeq12d 2744 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) ↔ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)))
5651, 55imbi12d 343 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))))
57 climexp.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
5849, 56, 57chvarfv 2228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5934, 36, 583eqtr4rd 2779 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
601, 20, 27, 2, 59climeq 15551 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁) ↔ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁)))
6119, 60mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2879  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066   ⇝ cli 15468  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286   Cn ccn 23148  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  45498
  Copyright terms: Public domain W3C validator