Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 44890
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 β„²π‘˜πœ‘
climexp.2 β„²π‘˜πΉ
climexp.3 β„²π‘˜π»
climexp.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climexp.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climexp.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climexp.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climexp.8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
climexp.9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
climexp.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climexp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climexp.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54expcn 24745 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
74cncfcn1 24786 . . . . 5 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
86, 7eleqtrrdi 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9 climexp.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
10 climexp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11 climcl 15449 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 24775 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄))
14 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
15 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
1615oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
1712, 3expcld 14116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑁) ∈ β„‚)
1814, 16, 12, 17fvmptd 6999 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜π΄) = (𝐴↑𝑁))
1913, 18breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑉)
21 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
2221mptex 7220 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V
231fvexi 6899 . . . . 5 𝑍 ∈ V
24 fex 7223 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
259, 23, 24sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
26 coexg 7919 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2722, 25, 26sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
28 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)))
29 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—))
3029oveq1d 7420 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ = (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘₯↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
319ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
323adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3331, 32expcld 14116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁) ∈ β„‚)
3428, 30, 31, 33fvmptd 6999 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
35 fvco3 6984 . . . . 5 ((𝐹:π‘βŸΆβ„‚ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
369, 35sylan 579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))β€˜(πΉβ€˜π‘—)))
37 climexp.1 . . . . . . 7 β„²π‘˜πœ‘
38 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
3937, 38nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
40 climexp.3 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π»
41 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘—
4240, 41nffv 6895 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—)
43 climexp.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
4443, 41nffv 6895 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘—)
45 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β†‘
46 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘
4744, 45, 46nfov 7435 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4842, 47nfeq 2910 . . . . . 6 β„²π‘˜(π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)
4939, 48nfim 1891 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
50 eleq1w 2810 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
5150anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
52 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜π‘—))
53 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
5453oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5552, 54eqeq12d 2742 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁) ↔ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁)))
5651, 55imbi12d 344 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))))
57 climexp.10 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑁))
5849, 56, 57chvarfv 2225 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)↑𝑁))
5934, 36, 583eqtr4rd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
601, 20, 27, 2, 59climeq 15517 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁) ↔ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴↑𝑁)))
6119, 60mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ (𝐴↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14032   ⇝ cli 15434  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240   Cn ccn 23083  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  45366
  Copyright terms: Public domain W3C validator