Theorem climeldmeq 46674

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeq.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climeldmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climeldmeq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeq.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climeldmeq	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4		climdm 15721	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
5	4	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
6		climeldmeq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		climeldmeq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		climeldmeq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		climeldmeq.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
10	6, 7, 1, 8, 9	climeq 15734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
12	5, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
13		breldmg 5891	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V ∧ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
14	2, 3, 12, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
15	14	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
16	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V)
18		climdm 15721	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
19	18	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
20	9	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21	6, 1, 7, 8, 20	climeq 15734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
23	19, 22	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
24		breldmg 5891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
25	16, 17, 23, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
27	15, 26	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655

This theorem is used by:  climeldmeqmpt  46677  climfveq  46678  climfveqf  46689  climeldmeqf  46692  climeldmeqmpt3  46698