Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeq 42098
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeq.f (𝜑𝐹𝑉)
climeldmeq.g (𝜑𝐺𝑊)
climeldmeq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeq.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeldmeq (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeq
StepHypRef Expression
1 climeldmeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑊)
21adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
3 fvexd 6661 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4 climdm 14891 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
65biimpa 479 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7 climeldmeq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 climeldmeq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
9 climeldmeq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeq.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
117, 8, 1, 9, 10climeq 14904 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
1211adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
136, 12mpbid 234 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
14 breldmg 5754 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V ∧ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
152, 3, 13, 14syl3anc 1367 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
1615ex 415 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
178adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
18 fvexd 6661 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V)
19 climdm 14891 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2019biimpi 218 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2120adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2210eqcomd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
237, 1, 8, 9, 22climeq 14904 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2423adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2521, 24mpbid 234 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
26 breldmg 5754 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2717, 18, 25, 26syl3anc 1367 . . 3 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2827ex 415 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
2916, 28impbid 214 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473   class class class wbr 5042  dom cdm 5531  cfv 6331  cz 11960  cuz 12222  cli 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825
This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt  42101  climfveq  42102  climfveqf  42113  climeldmeqf  42116  climeldmeqmpt3  42122
  Copyright terms: Public domain W3C validator