Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeq 40691
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeq.f (𝜑𝐹𝑉)
climeldmeq.g (𝜑𝐺𝑊)
climeldmeq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeq.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeldmeq (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeq
StepHypRef Expression
1 climeldmeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑊)
21adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
3 fvexd 6447 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4 climdm 14661 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
65biimpa 470 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7 climeldmeq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 climeldmeq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
9 climeldmeq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeq.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
117, 8, 1, 9, 10climeq 14674 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
1211adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
136, 12mpbid 224 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
14 breldmg 5561 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V ∧ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
152, 3, 13, 14syl3anc 1496 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
1615ex 403 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
178adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
18 fvexd 6447 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V)
19 climdm 14661 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2019biimpi 208 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2120adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
2210eqcomd 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
237, 1, 8, 9, 22climeq 14674 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2423adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
2521, 24mpbid 224 . . . 4 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
26 breldmg 5561 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ ( ⇝ ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2717, 18, 25, 26syl3anc 1496 . . 3 ((𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2827ex 403 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
2916, 28impbid 204 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3413   class class class wbr 4872  dom cdm 5341  cfv 6122  cz 11703  cuz 11967  cli 14591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595
This theorem is referenced by:  climeldmeqmpt  40694  climfveq  40695  climfveqf  40706  climeldmeqf  40709  climeldmeqmpt3  40715
  Copyright terms: Public domain W3C validator