Theorem isumclim3 15701

Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumclim3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		climdm 15496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4		sumfc 15651	. . . 4 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴
5		isumclim3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		isumclim3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
8		isumclim3.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):𝑍⟶ℂ)
10	9	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
11	5, 6, 7, 10	isum 15661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
12	4, 11	eqtr3id 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
13		seqex 13944	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
15		isumclim3.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
16		fvres 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
17		fzssuz 13502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
18	17, 5	sseqtrri 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
19		resmpt 5997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
21	20	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
22	16, 21	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
23	22	sumeq2i 15640	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
24		sumfc 15651	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
25	23, 24	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
26		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
27		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
28	27, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
30		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30, 5	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ 𝑍)
32	29, 31, 10	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
33	26, 28, 32	fsumser 15672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑗))
34	25, 33	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑗))
35	15, 34	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	5, 14, 1, 6, 35	climeq 15509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑥))
37	36	iotabidv 6483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹 ⇝ 𝑥))
38		df-fv 6507	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
39		df-fv 6507	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹 ⇝ 𝑥)
40	37, 38, 39	3eqtr4g 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
41	12, 40	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
42	3, 41	breqtrrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ℩cio 6450  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  seqcseq 13942   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  esumcvg  34049