MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 15711
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumclim3.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumclim3.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumclim3.5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,π‘˜,𝑀   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15504 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
4 sumfc 15661 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
98fmpttd 7110 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
115, 6, 7, 10isum 15671 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
124, 11eqtr3id 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
13 seqex 13974 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
15 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
16 fvres 6904 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
17 fzssuz 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1817, 5sseqtrri 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
19 resmpt 6031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6886 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
2216, 21eqtr3di 2781 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
2322sumeq2i 15651 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
24 sumfc 15661 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2523, 24eqtri 2754 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
26 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
27 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2827, 5eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
29 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
30 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 5eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3229, 31, 10syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
3326, 28, 32fsumser 15682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3425, 33eqtr3id 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3515, 34eqtr2d 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
365, 14, 1, 6, 35climeq 15517 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ 𝐹 ⇝ π‘₯))
3736iotabidv 6521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯))
38 df-fv 6545 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
39 df-fv 6545 . . . 4 ( ⇝ β€˜πΉ) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯)
4037, 38, 393eqtr4g 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜πΉ))
4112, 40eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜πΉ))
423, 41breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  β„©cio 6487  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   + caddc 11115  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  esumcvg  33614
  Copyright terms: Public domain W3C validator