MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 15737
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumclim3.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumclim3.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumclim3.5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,π‘˜,𝑀   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15530 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
4 sumfc 15687 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eqidd 2726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
98fmpttd 7120 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
115, 6, 7, 10isum 15697 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
124, 11eqtr3id 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
13 seqex 14000 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
15 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
16 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
17 fzssuz 13574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1817, 5sseqtrri 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
19 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6893 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
2216, 21eqtr3di 2780 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
2322sumeq2i 15677 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
24 sumfc 15687 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2523, 24eqtri 2753 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
26 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
27 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2827, 5eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
29 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
30 elfzuz 13529 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 5eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3229, 31, 10syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
3326, 28, 32fsumser 15708 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3425, 33eqtr3id 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3515, 34eqtr2d 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
365, 14, 1, 6, 35climeq 15543 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ 𝐹 ⇝ π‘₯))
3736iotabidv 6527 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯))
38 df-fv 6551 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
39 df-fv 6551 . . . 4 ( ⇝ β€˜πΉ) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯)
4037, 38, 393eqtr4g 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜πΉ))
4112, 40eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜πΉ))
423, 41breqtrrd 5171 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  β„©cio 6493  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   + caddc 11141  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  esumcvg  33762
  Copyright terms: Public domain W3C validator