MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 15792
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15587 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 218 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 sumfc 15742 . . . 4 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eqidd 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
98fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
109ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
115, 6, 7, 10isum 15752 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
124, 11eqtr3id 2789 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
13 seqex 14041 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
15 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
16 fvres 6926 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
17 fzssuz 13602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1817, 5sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
19 resmpt 6057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6908 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
2216, 21eqtr3di 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2322sumeq2i 15731 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
24 sumfc 15742 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2523, 24eqtri 2763 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
26 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
27 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2827, 5eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
29 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
30 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3130, 5eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3229, 31, 10syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3326, 28, 32fsumser 15763 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3425, 33eqtr3id 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3515, 34eqtr2d 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
365, 14, 1, 6, 35climeq 15600 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3736iotabidv 6547 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
38 df-fv 6571 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
39 df-fv 6571 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4037, 38, 393eqtr4g 2800 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4112, 40eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
423, 41breqtrrd 5176 1 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  cio 6514  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   + caddc 11156  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  esumcvg  34067
  Copyright terms: Public domain W3C validator