MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 15649
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumclim3.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isumclim3.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumclim3.5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,π‘˜,𝑀   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 15442 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
4 sumfc 15599 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
98fmpttd 7064 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
115, 6, 7, 10isum 15609 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝑍 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
124, 11eqtr3id 2787 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
13 seqex 13914 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
15 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
16 fvres 6862 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
17 fzssuz 13488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1817, 5sseqtrri 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
19 resmpt 5992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6844 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑗))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
2216, 21eqtr3di 2788 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
2322sumeq2i 15589 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
24 sumfc 15599 . . . . . . . . 9 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2523, 24eqtri 2761 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
26 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
27 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2827, 5eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
29 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
30 elfzuz 13443 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 5eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
3229, 31, 10syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
3326, 28, 32fsumser 15620 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑗)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3425, 33eqtr3id 2787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—))
3515, 34eqtr2d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
365, 14, 1, 6, 35climeq 15455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯ ↔ 𝐹 ⇝ π‘₯))
3736iotabidv 6481 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯))
38 df-fv 6505 . . . 4 ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (β„©π‘₯seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ π‘₯)
39 df-fv 6505 . . . 4 ( ⇝ β€˜πΉ) = (β„©π‘₯𝐹 ⇝ π‘₯)
4037, 38, 393eqtr4g 2798 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ β€˜πΉ))
4112, 40eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜πΉ))
423, 41breqtrrd 5134 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  β„©cio 6447  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   + caddc 11059  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912   ⇝ cli 15372  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  esumcvg  32742
  Copyright terms: Public domain W3C validator