Theorem cnresima 38443

Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnresima	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Proof of Theorem cnresima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1155	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	3	toptopon 23085	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	2, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		ssidd 3959	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7, 3	cnf 23414	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
9	8	frnd 6714	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
10	9	3ad2ant3 1152	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
11		cnrest2 23454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17479  Topctop 23061  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9369  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cn 23395

This theorem is used by: (None)