Theorem cnresima 37764

Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnresima	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Proof of Theorem cnresima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	3	toptopon 22802	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	2, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		ssidd 3959	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7, 3	cnf 23131	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
9	8	frnd 6660	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
11		cnrest2 23171	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
13	1, 12	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↾_t crest 17324  Topctop 22778  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-map 8755  df-en 8873  df-fin 8876  df-fi 9301  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cn 23112

This theorem is referenced by: (None)