Theorem cnresima 38105

Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnresima	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Proof of Theorem cnresima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	3	toptopon 22896	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	2, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		ssidd 3946	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7, 3	cnf 23225	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
9	8	frnd 6672	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
10	9	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
11		cnrest2 23265	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
13	1, 12	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ran crn 5627  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↾_t crest 17378  Topctop 22872  TopOnctopon 22889   Cn ccn 23203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-map 8770  df-en 8889  df-fin 8892  df-fi 9319  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-cn 23206

This theorem is referenced by: (None)