Theorem cnresima 37967

Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnresima	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Proof of Theorem cnresima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	3	toptopon 22865	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	2, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		ssidd 3958	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7, 3	cnf 23194	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
9	8	frnd 6671	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
10	9	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
11		cnrest2 23234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝐹 ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹))))
13	1, 12	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ran 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4864  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17344  Topctop 22841  TopOnctopon 22858   Cn ccn 23172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-rest 17346  df-topgen 17367  df-top 22842  df-topon 22859  df-bases 22894  df-cn 23175

This theorem is referenced by: (None)