Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnres2 36679
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cnres2.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cnres2.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnres2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem cnres2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 simp2l 1200 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
3 cnres2.1 . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
43cnrest 22789 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
51, 2, 4syl2anc 585 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
6 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
7 cnres2.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
87toptopon 22419 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
96, 8sylib 217 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
10 df-ima 5690 . . . 4 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
11 simp3r 1203 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
123, 7cnf 22750 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
13 ffun 6721 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ Fun 𝐹)
141, 12, 133syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ Fun 𝐹)
15 fdm 6727 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
161, 12, 153syl 18 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
172, 16sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
18 funimass4 6957 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
1914, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
2011, 19mpbird 257 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡)
2110, 20eqsstrrid 4032 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐡)
22 simp2r 1201 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
23 cnrest2 22790 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))))
249, 21, 22, 23syl3anc 1372 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))))
255, 24mpbid 231 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator