Theorem cnres2 37933

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnres2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnres2	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1203	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2l 1201	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		cnres2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	cnrest 23231	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
6		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Top)
7		cnres2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
8	7	toptopon 22863	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9	6, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10		df-ima 5636	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
11		simp3r 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	3, 7	cnf 23192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
13		ffun 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → Fun 𝐹)
15		fdm 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
16	1, 12, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2, 16	sseqtrrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
18		funimass4 6897	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
19	14, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	11, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵)
21	10, 20	eqsstrrid 3972	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵)
22		simp2r 1202	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
23		cnrest2 23232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
25	5, 24	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4862  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  Fun wfun 6485  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17342  Topctop 22839  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8767  df-en 8886  df-fin 8889  df-fi 9316  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cn 23173

This theorem is referenced by: (None)