Theorem cnres2 38104

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnres2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnres2	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1203	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2l 1201	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		cnres2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	cnrest 23264	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
6		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Top)
7		cnres2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
8	7	toptopon 22896	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9	6, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10		df-ima 5639	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
11		simp3r 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	3, 7	cnf 23225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
13		ffun 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → Fun 𝐹)
15		fdm 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
16	1, 12, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2, 16	sseqtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
18		funimass4 6900	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
19	14, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	11, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵)
21	10, 20	eqsstrrid 3962	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵)
22		simp2r 1202	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
23		cnrest2 23265	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
25	5, 24	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  dom cdm 5626  ran crn 5627   ↾ cres 5628   “ cima 5629  Fun wfun 6488  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↾_t crest 17378  Topctop 22872  TopOnctopon 22889   Cn ccn 23203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-map 8770  df-en 8889  df-fin 8892  df-fi 9319  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-cn 23206

This theorem is referenced by: (None)