Theorem cnres2 38698

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnres2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnres2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnres2	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cnres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		simp2l 1218	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		cnres2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	cnrest 23603	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
6		simp1r 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Top)
7		cnres2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
8	7	toptopon 23235	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9	6, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10		df-ima 5663	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
11		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	3, 7	cnf 23564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
13		ffun 6712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
14	1, 12, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → Fun 𝐹)
15		fdm 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
16	1, 12, 15	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2, 16	sseqtrrd 3945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
18		funimass4 6949	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	11, 19	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵)
21	10, 20	eqsstrrid 3947	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵)
22		simp2r 1219	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
23		cnrest2 23604	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
24	9, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵))))
25	5, 24	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17591  Topctop 23211  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cn 23545

This theorem is used by: (None)