Theorem cncfres 38457

Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfres.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
cncfres.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
cncfres.6	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
cncfres	⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfres.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		cncfres.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	1, 2	fmpti 7114	. . 3 ⊢ 𝐺:𝐴⟶𝐵
4		cncfres.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
5		cncfres.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
6		resmpt 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	1, 7	eqtr4i 2792	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9		cncfres.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10		cncfres.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	9, 10	eqeltrri 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12		rescncf 25093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13	5, 11, 12	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
14	8, 13	eqeltri 2862	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)
15		cncfcdm 25094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
16	4, 14, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵)
17	3, 16	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵)
18		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20		cncfres.7	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21		cncfres.8	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
22	18, 19, 20, 21	cncfmet 25105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
23	5, 4, 22	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
24	17, 23	eleqtri 2864	1 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   − cmin 11459  abscabs 15311  MetOpencmopn 21549   Cn ccn 23418  –cn→ccncf 25072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-cncf 25074

This theorem is used by: (None)