Theorem cncfres 38667

Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfres.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
cncfres.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
cncfres.6	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
cncfres	⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfres.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		cncfres.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	1, 2	fmpti 7104	. . 3 ⊢ 𝐺:𝐴⟶𝐵
4		cncfres.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
5		cncfres.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
6		resmpt 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	1, 7	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9		cncfres.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10		cncfres.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	9, 10	eqeltrri 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12		rescncf 25198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13	5, 11, 12	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
14	8, 13	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)
15		cncfcdm 25199	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
16	4, 14, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵)
17	3, 16	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20		cncfres.7	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21		cncfres.8	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
22	18, 19, 20, 21	cncfmet 25210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
23	5, 4, 22	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
24	17, 23	eleqtri 2859	1 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   − cmin 11522  abscabs 15381  MetOpencmopn 21648   Cn ccn 23522  –cn→ccncf 25177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-cncf 25179

This theorem is used by: (None)