Theorem cncfres 37759

Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfres.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
cncfres.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
cncfres.6	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
cncfres	⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfres.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		cncfres.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	1, 2	fmpti 7084	. . 3 ⊢ 𝐺:𝐴⟶𝐵
4		cncfres.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
5		cncfres.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
6		resmpt 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	1, 7	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9		cncfres.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10		cncfres.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	9, 10	eqeltrri 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12		rescncf 24790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13	5, 11, 12	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
14	8, 13	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)
15		cncfcdm 24791	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
16	4, 14, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵)
17	3, 16	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵)
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20		cncfres.7	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21		cncfres.8	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
22	18, 19, 20, 21	cncfmet 24802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
23	5, 4, 22	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
24	17, 23	eleqtri 2826	1 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   − cmin 11405  abscabs 15200  MetOpencmopn 21254   Cn ccn 23111  –cn→ccncf 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-cncf 24771

This theorem is referenced by: (None)