Theorem cncfres 36571

Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfres.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
cncfres.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
cncfres.6	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
cncfres	⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfres.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		cncfres.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	1, 2	fmpti 7107	. . 3 ⊢ 𝐺:𝐴⟶𝐵
4		cncfres.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
5		cncfres.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
6		resmpt 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	1, 7	eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9		cncfres.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10		cncfres.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	9, 10	eqeltrri 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12		rescncf 24395	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13	5, 11, 12	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
14	8, 13	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)
15		cncfcdm 24396	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
16	4, 14, 15	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵)
17	3, 16	mpbir 230	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵)
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20		cncfres.7	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21		cncfres.8	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
22	18, 19, 20, 21	cncfmet 24407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
23	5, 4, 22	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
24	17, 23	eleqtri 2832	1 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104   − cmin 11440  abscabs 15177  MetOpencmopn 20919   Cn ccn 22710  –cn→ccncf 24374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-cncf 24376

This theorem is referenced by: (None)