Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfres 36936
Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1 𝐴 βŠ† β„‚
cncfres.2 𝐡 βŠ† β„‚
cncfres.3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢)
cncfres.4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
cncfres.5 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
cncfres.6 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
cncfres.7 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
cncfres.8 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
cncfres 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2 cncfres.5 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
31, 2fmpti 7113 . . 3 𝐺:𝐴⟢𝐡
4 cncfres.2 . . . 4 𝐡 βŠ† β„‚
5 cncfres.1 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† β„‚
6 resmpt 6037 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
81, 7eqtr4i 2763 . . . . 5 𝐺 = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴)
9 cncfres.3 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢)
10 cncfres.6 . . . . . . 7 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
119, 10eqeltrri 2830 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
12 rescncf 24637 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)))
135, 11, 12mp2 9 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)
148, 13eqeltri 2829 . . . 4 𝐺 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)
15 cncfcdm 24638 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝐺:𝐴⟢𝐡))
164, 14, 15mp2an 690 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
173, 16mpbir 230 . 2 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐡)
18 eqid 2732 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
19 eqid 2732 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
20 cncfres.7 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
21 cncfres.8 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
2218, 19, 20, 21cncfmet 24649 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))
235, 4, 22mp2an 690 . 2 (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾)
2417, 23eleqtri 2831 1 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   βˆ’ cmin 11448  abscabs 15185  MetOpencmopn 21134   Cn ccn 22948  β€“cnβ†’ccncf 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cncf 24618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator