Theorem cncfres 34485

Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfres.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
cncfres.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
cncfres.6	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
cncfres	⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfres.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		cncfres.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	1, 2	fmpti 6693	. . 3 ⊢ 𝐺:𝐴⟶𝐵
4		cncfres.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
5		cncfres.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
6		resmpt 5744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	1, 7	eqtr4i 2799	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9		cncfres.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10		cncfres.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	9, 10	eqeltrri 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12		rescncf 23202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13	5, 11, 12	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
14	8, 13	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)
15		cncffvrn 23203	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
16	4, 14, 15	mp2an 679	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵)
17	3, 16	mpbir 223	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐴–cn→𝐵)
18		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20		cncfres.7	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21		cncfres.8	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
22	18, 19, 20, 21	cncfmet 23213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
23	5, 4, 22	mp2an 679	. 2 ⊢ (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
24	17, 23	eleqtri 2858	1 ⊢ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3823   ↦ cmpt 5002   × cxp 5399   ↾ cres 5403   ∘ ccom 5405  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10327   − cmin 10664  abscabs 14448  MetOpencmopn 20231   Cn ccn 21530  –cn→ccncf 23181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-sup 8695  df-inf 8696  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-seq 13179  df-exp 13239  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-topgen 16567  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-top 21200  df-topon 21217  df-bases 21252  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-cncf 23183

This theorem is referenced by: (None)