MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1ghm 19566
Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+gโ€˜๐บ)
pj1eu.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
pj1eu.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
pj1eu.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
pj1eu.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
pj1eu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
pj1f.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
pj1ghm (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) GrpHom ๐บ))

Proof of Theorem pj1ghm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))
2 eqid 2733 . 2 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
3 ovex 7439 . . 3 (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ V
4 eqid 2733 . . . 4 (๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) = (๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
5 pj1eu.a . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
64, 5ressplusg 17232 . . 3 ((๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ V โ†’ + = (+gโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))
73, 6ax-mp 5 . 2 + = (+gโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))
8 pj1eu.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
9 pj1eu.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10 pj1eu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
11 pj1eu.s . . . . 5 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
12 pj1eu.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1311, 12lsmsubg 19517 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
148, 9, 10, 13syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
154subggrp 19004 . . 3 ((๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆˆ Grp)
1614, 15syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆˆ Grp)
17 subgrcl 19006 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
188, 17syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
19 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
20 pj1eu.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
21 pj1f.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
225, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1f 19560 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
232subgss 19002 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
248, 23syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2522, 24fssd 6733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
264subgbas 19005 . . . . 5 ((๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))
2714, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))
2827feq2d 6701 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โ†” (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))โŸถ(Baseโ€˜๐บ)))
2925, 28mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3027eleq2d 2820 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))))
3127eleq2d 2820 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))))
3230, 31anbi12d 632 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))))
3332biimpar 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)))
345, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 19562 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฅ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
3534adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘ฅ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
365, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 19562 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3736adantrl 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘ฆ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
3835, 37oveq12d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) + (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
398adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
40 grpmnd 18823 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
4139, 17, 403syl 18 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
4239, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
43 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
44 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‡)
4522, 43, 44syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‡)
4642, 45sseldd 3983 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
47 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
48 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‡)
4922, 47, 48syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‡)
5042, 49sseldd 3983 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
519adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
522subgss 19002 . . . . . . . . 9 (๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
545, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj2f 19561 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘ˆ)
55 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . 9 (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘ˆ)
5654, 43, 55syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘ˆ)
5753, 56sseldd 3983 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
58 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . 9 (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘ˆ)
5954, 47, 58syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘ˆ)
6053, 59sseldd 3983 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
6110adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
6261, 49sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
635, 12cntzi 19188 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)))
6462, 56, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)))
652, 5, 41, 46, 50, 57, 60, 64mnd4g 18636 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) + (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) + (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
6638, 65eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) + (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
6720adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
685subgcl 19011 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
69683expb 1121 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
7014, 69sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
715subgcl 19011 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‡ โˆง ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘‡)
7239, 45, 49, 71syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘‡)
735subgcl 19011 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘ˆ)
7451, 56, 59, 73syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐‘ˆ)
755, 11, 19, 12, 39, 51, 67, 61, 21, 70, 72, 74pj1eq 19563 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) + (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))))
7666, 75mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
7776simpld 496 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)))
7833, 77syldan 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฆ)))
791, 2, 7, 5, 16, 18, 29, 78isghmd 19096 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ) โˆˆ ((๐บ โ†พs (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) GrpHom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โŸถwf 6537  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141   โ†พs cress 17170  +gcplusg 17194  0gc0g 17382  Mndcmnd 18622  Grpcgrp 18816  SubGrpcsubg 18995   GrpHom cghm 19084  Cntzccntz 19174  LSSumclsm 19497  proj1cpj1 19498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-pj1 19500
This theorem is referenced by:  pj1ghm2  19567  dpjghm  19928  pj1lmhm  20704
  Copyright terms: Public domain W3C validator