Theorem divdiv32i 11950

Description: Swap denominators in a division. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmul.4	⊢ 𝐵 ≠ 0
divdiv23.5	⊢ 𝐶 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divdiv32i	⊢ ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) / 𝐵)

Proof of Theorem divdiv32i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmul.4	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		divdiv23.5	. 2 ⊢ 𝐶 ≠ 0
3		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		divmulz.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
6	3, 4, 5	divdiv23zi 11948	. 2 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) / 𝐵))
7	1, 2, 6	mp2an 690	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) / 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7392  ℂcc 11089  0cc0 11091   / cdiv 11852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-po 5580  df-so 5581  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853

This theorem is referenced by:  bposlem8  26718  fourierdlem103  44686  fourierdlem104  44687  fourierswlem  44707