Theorem divassi 12046

Description: An associative law for division. (Contributed by NM, 15-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divass.4	⊢ 𝐶 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divassi	⊢ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem divassi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divass.4	. 2 ⊢ 𝐶 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		divmulz.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5	2, 3, 4	divasszi 12040	. 2 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  (class class class)co 7445  ℂcc 11178  0cc0 11180   · cmul 11185   / cdiv 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944

This theorem is referenced by:  cos2bnd  16230  6lcm4e12  16657  sincos6thpi  26567  cxpsqrt  26754  1cubrlem  26893  efiatan  26964  log2cnv  26996  log2ublem1  26998  birthday  27006  bclbnd  27333  bposlem8  27344  ex-lcm  30481  dpmul4  32870  ballotth  34494  hgt750lem  34620  quad3  35630  cxpi11d  42268  areaquad  43117  41prothprmlem1  47423