![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divdivdivi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Feb-1995.) |
Ref | Expression |
---|---|
divclz.1 | โข ๐ด โ โ |
divclz.2 | โข ๐ต โ โ |
divmulz.3 | โข ๐ถ โ โ |
divmuldiv.4 | โข ๐ท โ โ |
divmuldiv.5 | โข ๐ต โ 0 |
divmuldiv.6 | โข ๐ท โ 0 |
divdivdiv.7 | โข ๐ถ โ 0 |
Ref | Expression |
---|---|
divdivdivi | โข ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divclz.1 | . 2 โข ๐ด โ โ | |
2 | divclz.2 | . . 3 โข ๐ต โ โ | |
3 | divmuldiv.5 | . . 3 โข ๐ต โ 0 | |
4 | 2, 3 | pm3.2i 470 | . 2 โข (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) |
5 | divmulz.3 | . . 3 โข ๐ถ โ โ | |
6 | divdivdiv.7 | . . 3 โข ๐ถ โ 0 | |
7 | 5, 6 | pm3.2i 470 | . 2 โข (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) |
8 | divmuldiv.4 | . . 3 โข ๐ท โ โ | |
9 | divmuldiv.6 | . . 3 โข ๐ท โ 0 | |
10 | 8, 9 | pm3.2i 470 | . 2 โข (๐ท โ โ โง ๐ท โ 0) |
11 | divdivdiv 11912 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท โ 0))) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) | |
12 | 1, 4, 7, 10, 11 | mp4an 690 | 1 โข ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 (class class class)co 7401 โcc 11104 0cc0 11106 ยท cmul 11111 / cdiv 11868 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-id 5564 df-po 5578 df-so 5579 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 |
This theorem is referenced by: log2tlbnd 26793 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |