Theorem divdivdivi 11964

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5	⊢ 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6	⊢ 𝐷 ≠ 0
divdivdiv.7	⊢ 𝐶 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divdivdivi	⊢ ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem divdivdivi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		divmuldiv.5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	pm3.2i 472	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)
5		divmulz.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
6		divdivdiv.7	. . 3 ⊢ 𝐶 ≠ 0
7	5, 6	pm3.2i 472	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)
8		divmuldiv.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
9		divmuldiv.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ≠ 0
10	8, 9	pm3.2i 472	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)
11		divdivdiv 11902	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
12	1, 4, 7, 10, 11	mp4an 692	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  0cc0 11097   · cmul 11102   / cdiv 11858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859

This theorem is referenced by:  log2tlbnd  26417