Theorem divdivdiv 11942

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
divdivdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
2		simprll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐶 ≠ 0)
4		divcl 11902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐵 ≠ 0)
9		divcl 11902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcomd 11256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)))
12		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
14		divmuldiv 11941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
15	6, 1, 12, 13, 14	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
16	11, 15	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
17	16	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))))
18		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
19		divmuldiv 11941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
20	2, 1, 18, 13, 19	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
21	2, 1	mulcomd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
22	21	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)))
23	1, 2	mulcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
24		simprrr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐷 ≠ 0)
25	1, 2, 24, 3	mulne0d 11889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐷 · 𝐶) ≠ 0)
26		divid 11927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐶) ≠ 0) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
29	20, 28	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = 1)
30	29	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = (1 · (𝐴 / 𝐵)))
31		divcl 11902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
32	2, 1, 24, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
33	32, 5, 10	mulassd 11258	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))))
34	10	mullidd 11253	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (1 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
35	30, 33, 34	3eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
36	17, 35	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵))
37	6, 1	mulcld 11255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	7, 2	mulcld 11255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
39		mulne0 11879	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
40	39	ad2ant2lr 748	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
41		divcl 11902	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
43		divne0 11908	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
44	43	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
45		divmul 11899	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
46	10, 42, 32, 44, 45	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
47	36, 46	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   / cdiv 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895

This theorem is referenced by:  recdiv  11947  divcan7  11950  divdiv1  11952  divdiv2  11953  divdivdivi  12004  divdivdivd  12064  qreccl  12985  pnt2  27576