MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdivdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdivdiv 11861
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
divdivdiv (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem divdivdiv
StepHypRef Expression
1 simprrl 780 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2 simprll 778 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simprlr 779 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
4 divcl 11824 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 simplrl 776 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 simplrr 777 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
9 divcl 11824 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
106, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
115, 10mulcomd 11181 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)))
12 simplr 768 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
13 simprl 770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
14 divmuldiv 11860 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 838 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
1611, 15eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
1716oveq2d 7374 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))) = ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))))
18 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
19 divmuldiv 11860 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)))
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 838 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)))
212, 1mulcomd 11181 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
2221oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)))
231, 2mulcld 11180 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
24 simprrr 781 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โ‰  0)
251, 2, 24, 3mulne0d 11812 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โ‰  0)
26 divid 11847 . . . . . . . 8 (((๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ถ) โ‰  0) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2723, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2822, 27eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / (๐ท ยท ๐ถ)) = 1)
2920, 28eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) = 1)
3029oveq1d 7373 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) ยท (๐ด / ๐ต)) = (1 ยท (๐ด / ๐ต)))
31 divcl 11824 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
322, 1, 24, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
3332, 5, 10mulassd 11183 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ถ / ๐ท) ยท (๐ท / ๐ถ)) ยท (๐ด / ๐ต)) = ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))))
3410mulid2d 11178 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (1 ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
3530, 33, 343eqtr3d 2781 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ท / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))) = (๐ด / ๐ต))
3617, 35eqtr3d 2775 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต))
376, 1mulcld 11180 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
387, 2mulcld 11180 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
39 mulne0 11802 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰  0)
4039ad2ant2lr 747 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰  0)
41 divcl 11824 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1372 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
43 divne0 11830 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โ‰  0)
4443adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ / ๐ท) โ‰  0)
45 divmul 11821 . . 3 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถ / ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ / ๐ท) โ‰  0)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต)))
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1375 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ถ / ๐ท) ยท ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) = (๐ด / ๐ต)))
4736, 46mpbird 257 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  recdiv  11866  divcan7  11869  divdiv1  11871  divdiv2  11872  divdivdivi  11923  divdivdivd  11983  qreccl  12899  pnt2  26977
  Copyright terms: Public domain W3C validator