MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom 10643
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem pwxpndom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 10642 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2 reldom 8928 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5725 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
43, 3xpexd 7721 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
5 djudoml 10161 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
64, 3, 5syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
7 djucomen 10154 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
84, 3, 7syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
9 domentr 8992 . . . 4 (((𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
11 domtr 8986 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
1211expcom 414 . . 3 ((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
1310, 12syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
141, 13mtod 197 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4596   class class class wbr 5141   × cxp 5667  ωcom 7838  cen 8919  cdom 8920  cdju 9875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-seqom 8430  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-oexp 8454  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-oi 9487  df-har 9534  df-cnf 9639  df-dju 9878  df-card 9916
This theorem is referenced by:  gchxpidm  10646
  Copyright terms: Public domain W3C validator