Theorem pwxpndom 10626

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwxpndom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem pwxpndom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10625	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		reldom 8927	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5698	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4	3, 3	xpexd 7730	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
5		djudoml 10145	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
6	4, 3, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
7		djucomen 10138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
8	4, 3, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
9		domentr 8987	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
11		domtr 8981	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
12	11	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
14	1, 13	mtod 198	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ωcom 7845   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-seqom 8419  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-oexp 8443  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-har 9517  df-cnf 9622  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  gchxpidm  10629