MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom 10660
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem pwxpndom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 10659 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2 reldom 8944 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5733 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
43, 3xpexd 7737 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
5 djudoml 10178 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
64, 3, 5syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴))
7 djucomen 10171 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
84, 3, 7syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
9 domentr 9008 . . . 4 (((𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ∧ ((𝐴 × 𝐴) ⊔ 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
11 domtr 9002 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
1211expcom 414 . . 3 ((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
1310, 12syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
141, 13mtod 197 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3474  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ωcom 7854  cen 8935  cdom 8936  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-har 9551  df-cnf 9656  df-dju 9895  df-card 9933
This theorem is referenced by:  gchxpidm  10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator