MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom 9694
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem pwxpndom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9693 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2 reldom 8119 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5298 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
4 xpexg 7111 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
53, 3, 4syl2anc 573 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
6 cdadom3 9216 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴))
75, 3, 6syl2anc 573 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴))
8 cdacomen 9209 . . . 4 ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))
9 domentr 8172 . . . 4 (((𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ∧ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
107, 8, 9sylancl 574 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
11 domtr 8166 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
1211expcom 398 . . 3 ((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
1310, 12syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
141, 13mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787   × cxp 5248  (class class class)co 6796  ωcom 7216  cen 8110  cdom 8111   +𝑐 ccda 9195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-seqom 7700  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-oexp 7723  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-har 8623  df-cnf 8727  df-card 8969  df-cda 9196
This theorem is referenced by:  gchxpidm  9697
  Copyright terms: Public domain W3C validator