Theorem cardadju 10185

Description: The cardinal sum is equinumerous to an ordinal sum of the cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardadju	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem cardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9937	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardon 9937	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
3		onadju 10184	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))
5		cardid2 9946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		cardid2 9946	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7		djuen 10160	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
9		entr 9001	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
10	4, 8, 9	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	10	ensymd 9000	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   +_o coa 8448   ≈ cen 8938   ⊔ cdju 9891  cardccrd 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dju 9894  df-card 9932

This theorem is used by:  djunum  10186  pwsdompw  10193