Theorem cardadju 10155

Description: The cardinal sum is equinumerous to an ordinal sum of the cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardadju	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem cardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9904	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardon 9904	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
3		onadju 10154	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))
5		cardid2 9913	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		cardid2 9913	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7		djuen 10130	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
9		entr 8980	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
10	4, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	10	ensymd 8979	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  Oncon0 6335  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   +_o coa 8434   ≈ cen 8918   ⊔ cdju 9858  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  djunum  10156  pwsdompw  10163