Theorem cardadju 10274

Description: The cardinal sum is equinumerous to an ordinal sum of the cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardadju	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem cardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 10026	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardon 10026	. . . 4 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
3		onadju 10273	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))
5		cardid2 10035	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		cardid2 10035	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7		djuen 10249	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
9		entr 9034	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
10	4, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	10	ensymd 9033	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   +_o coa 8474   ≈ cen 8971   ⊔ cdju 9980  cardccrd 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dju 9983  df-card 10021

This theorem is used by:  djunum  10275  pwsdompw  10282