Theorem distrpr 11001

Description: Multiplication of positive reals is distributive. Proposition 9-3.7(iii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrpr	⊢ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) = ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶))

Proof of Theorem distrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrlem1pr 10998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶)))
2		distrlem5pr 11000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶)) ⊆ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)))
3	1, 2	eqssd 3956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) = ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶)))
4		dmplp 10985	. . 3 ⊢ dom +P = (P × P)
5		0npr 10965	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
6		dmmp 10986	. . 3 ⊢ dom ·P = (P × P)
7	4, 5, 6	ndmovdistr 7589	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) = ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶)))
8	3, 7	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·P (𝐵 +P 𝐶)) = ((𝐴 ·P 𝐵) +P (𝐴 ·P 𝐶))

Syntax hints:   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  Pcnp 10832   +_P cpp 10834   ·_P cmp 10835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ni 10845  df-pli 10846  df-mi 10847  df-lti 10848  df-plpq 10881  df-mpq 10882  df-ltpq 10883  df-enq 10884  df-nq 10885  df-erq 10886  df-plq 10887  df-mq 10888  df-1nq 10889  df-rq 10890  df-ltnq 10891  df-np 10954  df-plp 10956  df-mp 10957

This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem  11043  mulasssr  11063  distrsr  11064  m1m1sr  11066  1idsr  11071  recexsrlem  11076  mulgt0sr  11078