Theorem mulasspr 11015

Description: Multiplication of positive reals is associative. Proposition 9-3.7(i) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspr	⊢ ((𝐴 ·P 𝐵) ·P 𝐶) = (𝐴 ·P (𝐵 ·P 𝐶))

Proof of Theorem mulasspr

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 10975	. 2 ⊢ ·P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
2		mulclnq 10938	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3		dmmp 11004	. 2 ⊢ dom ·P = (P × P)
4		mulclpr 11011	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) ∈ P)
5		mulassnq 10950	. 2 ⊢ ((𝑓 ·Q 𝑔) ·Q ℎ) = (𝑓 ·Q (𝑔 ·Q ℎ))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpass 11000	1 ⊢ ((𝐴 ·P 𝐵) ·P 𝐶) = (𝐴 ·P (𝐵 ·P 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7401   ·_Q cmq 10847   ·_P cmp 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-ni 10863  df-mi 10865  df-lti 10866  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-mp 10975

This theorem is referenced by:  mulasssr  11081