Theorem eliccre 46019

Description: A member of a closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 13401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1151	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  ℝcr 11058   ≤ cle 11203  [,]cicc 13338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-icc 13342

This theorem is referenced by:  iccshift  46032  iccsuble  46033  cncfiooiccre  46407  itgioocnicc  46489  iblcncfioo  46490  itgspltprt  46491  itgiccshift  46492  itgperiod  46493  fourierdlem43  46662  fourierdlem44  46663  fourierdlem73  46691  fourierdlem81  46699  fourierdlem82  46700  fourierdlem83  46701  fourierdlem84  46702  fourierdlem92  46710  fourierdlem93  46711  fourierdlem101  46719  fourierdlem103  46721  fourierdlem104  46722  fourierdlem107  46725  fourierdlem111  46729