MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rn 14258
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6739 . . . . 5 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21anim2i 618 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡))
32ancomd 463 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4 fex 7177 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 8055 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
7 df-2nd 7923 . . . . . . . . 9 2nd = (π‘₯ ∈ V ↦ βˆͺ ran {π‘₯})
87funmpt2 6541 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 7166 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6773 . . . . . . . . . 10 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1211biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1312eqcoms 2741 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1413adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) ∧ 𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹)) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1615ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1918impcom 409 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 14257 . 2 (𝐹 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  2nd c2nd 7921  β™―chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  hashimarn  14346  usgrsizedg  28205  cycpmco2lem5  32028  cycpmconjslem2  32053  cyc3conja  32055  frlmdim  32363  ply1degltdim  32375  hashf1dmrn  33764  sticksstones2  40601
  Copyright terms: Public domain W3C validator