MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rn 14347
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6793 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21anim2i 615 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝑉𝐹:𝐴𝐵))
32ancomd 460 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉))
4 fex 7238 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 8127 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
7 df-2nd 7995 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
87funmpt2 6593 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 7227 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6826 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1211biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1312eqcoms 2733 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1413adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3579 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615ex 411 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1918impcom 406 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 14346 . 2 (𝐹 ∈ V → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3461  {csn 4630   cuni 4909  ran crn 5679  cres 5680  Fun wfun 6543  wf 6545  1-1wf1 6546  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  2nd c2nd 7993  chash 14325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-hash 14326
This theorem is referenced by:  hashimarn  14435  hashf1dmrn  14438  usgrsizedg  29100  cycpmco2lem5  32943  cycpmconjslem2  32968  cyc3conja  32970  frlmdim  33440  ply1degltdim  33452  sticksstones2  41750
  Copyright terms: Public domain W3C validator