MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rn 14343
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6788 . . . . 5 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21anim2i 615 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡))
32ancomd 460 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4 fex 7234 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 8125 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
7 df-2nd 7992 . . . . . . . . 9 2nd = (π‘₯ ∈ V ↦ βˆͺ ran {π‘₯})
87funmpt2 6587 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 7223 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6822 . . . . . . . . . 10 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1211biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1312eqcoms 2733 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1413adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) ∧ 𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹)) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3574 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1615ex 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1918impcom 406 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 14342 . 2 (𝐹 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  2nd c2nd 7990  β™―chash 14321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-hash 14322
This theorem is referenced by:  hashimarn  14431  hashf1dmrn  14434  usgrsizedg  29072  cycpmco2lem5  32896  cycpmconjslem2  32921  cyc3conja  32923  frlmdim  33366  ply1degltdim  33378  sticksstones2  41675
  Copyright terms: Public domain W3C validator