MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashf1rn 14308
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6784 . . . . 5 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21anim2i 617 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡))
32ancomd 462 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4 fex 7224 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 8104 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
7 df-2nd 7972 . . . . . . . . 9 2nd = (π‘₯ ∈ V ↦ βˆͺ ran {π‘₯})
87funmpt2 6584 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 7213 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6818 . . . . . . . . . 10 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1211biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1312eqcoms 2740 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1413adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) ∧ 𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹)) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1615ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1918impcom 408 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 14307 . 2 (𝐹 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  2nd c2nd 7970  β™―chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  hashimarn  14396  hashf1dmrn  14399  usgrsizedg  28461  cycpmco2lem5  32276  cycpmconjslem2  32301  cyc3conja  32303  frlmdim  32684  ply1degltdim  32696  sticksstones2  40951
  Copyright terms: Public domain W3C validator