MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashf1rn 14317
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6781 . . . . 5 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21anim2i 616 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡))
32ancomd 461 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4 fex 7223 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 8108 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
7 df-2nd 7975 . . . . . . . . 9 2nd = (π‘₯ ∈ V ↦ βˆͺ ran {π‘₯})
87funmpt2 6581 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 7212 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (2nd β†Ύ 𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6815 . . . . . . . . . 10 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1211biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ 𝐹) = 𝑓 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1312eqcoms 2734 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1413adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) ∧ 𝑓 = (2nd β†Ύ 𝐹)) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1615ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
1918impcom 407 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 14316 . 2 (𝐹 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐡) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  2nd c2nd 7973  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  hashimarn  14405  hashf1dmrn  14408  usgrsizedg  28980  cycpmco2lem5  32795  cycpmconjslem2  32820  cyc3conja  32822  frlmdim  33214  ply1degltdim  33226  sticksstones2  41524
  Copyright terms: Public domain W3C validator