MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rn 13345
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6283 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21anim2i 610 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝑉𝐹:𝐴𝐵))
32ancomd 453 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉))
4 fex 6682 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 7487 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
7 df-2nd 7367 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
87funmpt2 6107 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 6672 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6310 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1211biimpd 220 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1312eqcoms 2773 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1413adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3444 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615ex 401 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1918impcom 396 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 13344 . 2 (𝐹 ∈ V → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  Vcvv 3350  {csn 4334   cuni 4594  ran crn 5278  cres 5279  Fun wfun 6062  wf 6064  1-1wf1 6065  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  2nd c2nd 7365  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hashimarn  13428  usgrsizedg  26385
  Copyright terms: Public domain W3C validator