Theorem harinf 43477

Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harinf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4		nnfi 9093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6		sdomdom 8918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ≼ 𝑥)
7		domfi 9114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≼ 𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑆 ≼ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
9	5, 6, 8	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
10	3, 9	mtod 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ≺ 𝑥)
11		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fidomtri 9906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
14	10, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≼ 𝑆)
15		elharval 9467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≼ 𝑆))
16	2, 14, 15	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
18	17	ssrdv 3928	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  Oncon0 6315  ‘cfv 6490  ωcom 7808   ≼ cdom 8882   ≺ csdm 8883  Fincfn 8884  harchar 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-oi 9416  df-har 9463  df-card 9852

This theorem is referenced by:  ttac  43479