Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harinf 39831
 Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7577 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
21adantl 485 . . . 4 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4 nnfi 8705 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
54adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6 sdomdom 8529 . . . . . . 7 (𝑆𝑥𝑆𝑥)
7 domfi 8732 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
87ex 416 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (𝑆𝑥𝑆 ∈ Fin))
95, 6, 8syl2im 40 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆𝑥𝑆 ∈ Fin))
103, 9mtod 201 . . . . 5 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆𝑥)
11 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆𝑉)
12 fidomtri 9415 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆𝑉) → (𝑥𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑥))
135, 11, 12syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑥))
1410, 13mpbird 260 . . . 4 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑆)
15 elharval 9018 . . . 4 (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑆))
162, 14, 15sylanbrc 586 . . 3 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
1716ex 416 . 2 ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
1817ssrdv 3959 1 ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053  Oncon0 6179  ‘cfv 6344  ωcom 7571   ≼ cdom 8499   ≺ csdm 8500  Fincfn 8501  harchar 9013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-oi 8967  df-har 9014  df-card 9361 This theorem is referenced by:  ttac  39833
 Copyright terms: Public domain W3C validator