Theorem harinf 43979

Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harinf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7866	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4		nnfi 9161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6		sdomdom 8985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ≼ 𝑥)
7		domfi 9182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≼ 𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
8	7	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑆 ≼ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
9	5, 6, 8	syl2im 41	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
10	3, 9	mtod 201	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ≺ 𝑥)
11		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fidomtri 10046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
14	10, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≼ 𝑆)
15		elharval 9533	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≼ 𝑆))
16	2, 14, 15	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
17	16	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
18	17	ssrdv 3936	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  ωcom 7860   ≼ cdom 8949   ≺ csdm 8950  Fincfn 8951  harchar 9528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-oi 9482  df-har 9529  df-card 9992

This theorem is used by:  ttac  43981