Theorem harinf 43789

Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harinf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7866	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4		nnfi 9150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6		sdomdom 8975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ≼ 𝑥)
7		domfi 9171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≼ 𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
8	7	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑆 ≼ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
9	5, 6, 8	syl2im 41	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
10	3, 9	mtod 201	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ≺ 𝑥)
11		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fidomtri 9986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
14	10, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≼ 𝑆)
15		elharval 9521	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≼ 𝑆))
16	2, 14, 15	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
17	16	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
18	17	ssrdv 3942	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  ωcom 7860   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941  harchar 9516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-har 9517  df-card 9932

This theorem is used by:  ttac  43791