Theorem harinf 42455

Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harinf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4		nnfi 9192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6		sdomdom 9001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ≼ 𝑥)
7		domfi 9217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≼ 𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑆 ≼ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
9	5, 6, 8	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
10	3, 9	mtod 197	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ≺ 𝑥)
11		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fidomtri 10017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
14	10, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≼ 𝑆)
15		elharval 9585	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≼ 𝑆))
16	2, 14, 15	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
18	17	ssrdv 3986	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  Oncon0 6369  ‘cfv 6548  ωcom 7870   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964  harchar 9580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-har 9581  df-card 9963

This theorem is referenced by:  ttac  42457