Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harinf 42332
Description: The Hartogs number of an infinite set is at least Ο‰. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘†))

Proof of Theorem harinf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7857 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Ο‰ β†’ π‘₯ ∈ On)
21adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ π‘₯ ∈ On)
3 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ Β¬ 𝑆 ∈ Fin)
4 nnfi 9166 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ Ο‰ β†’ π‘₯ ∈ Fin)
54adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
6 sdomdom 8975 . . . . . . 7 (𝑆 β‰Ί π‘₯ β†’ 𝑆 β‰Ό π‘₯)
7 domfi 9191 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ 𝑆 β‰Ό π‘₯) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
87ex 412 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Fin β†’ (𝑆 β‰Ό π‘₯ β†’ 𝑆 ∈ Fin))
95, 6, 8syl2im 40 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ (𝑆 β‰Ί π‘₯ β†’ 𝑆 ∈ Fin))
103, 9mtod 197 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ Β¬ 𝑆 β‰Ί π‘₯)
11 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
12 fidomtri 9987 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 β‰Ί π‘₯))
135, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ (π‘₯ β‰Ό 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 β‰Ί π‘₯))
1410, 13mpbird 257 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ π‘₯ β‰Ό 𝑆)
15 elharval 9555 . . . 4 (π‘₯ ∈ (harβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯ ∈ On ∧ π‘₯ β‰Ό 𝑆))
162, 14, 15sylanbrc 582 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ Ο‰) β†’ π‘₯ ∈ (harβ€˜π‘†))
1716ex 412 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ Ο‰ β†’ π‘₯ ∈ (harβ€˜π‘†)))
1817ssrdv 3983 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑆 ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  β€˜cfv 6536  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8936   β‰Ί csdm 8937  Fincfn 8938  harchar 9550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933
This theorem is referenced by:  ttac  42334
  Copyright terms: Public domain W3C validator