Theorem harinf 43141

Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harinf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7811	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4		nnfi 9087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6		sdomdom 8912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ≼ 𝑥)
7		domfi 9108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≼ 𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑆 ≼ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
9	5, 6, 8	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆 ≺ 𝑥 → 𝑆 ∈ Fin))
10	3, 9	mtod 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ≺ 𝑥)
11		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		fidomtri 9896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥 ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ 𝑥))
14	10, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≼ 𝑆)
15		elharval 9457	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≼ 𝑆))
16	2, 14, 15	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
18	17	ssrdv 3937	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  Oncon0 6314  ‘cfv 6489  ωcom 7805   ≼ cdom 8876   ≺ csdm 8877  Fincfn 8878  harchar 9452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-oi 9406  df-har 9453  df-card 9842

This theorem is referenced by:  ttac  43143