Theorem fimact 10639

Description: The image by a function of a countable set is countable. The proof uses imadomnum 10638 rather than imadomg 10637, and so does not require ax-ac 10561. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.) (Revised by Vincent Gonzalez, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fimact	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

Proof of Theorem fimact

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9671	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → ω ∈ On)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → 𝐴 ≼ ω)
4		ondomen 10140	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → 𝐴 ∈ dom card)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → Fun 𝐹)
7		imadomnum 10638	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
9		domtr 9059	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)
10	8, 3, 9	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   “ cima 5658  Oncon0 6377  Fun wfun 6549  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  cardccrd 10040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-card 10044  df-acn 10047

This theorem is used by:  smfpimbor1lem1  48011