Theorem fimact 10542

Description: The image by a function of a countable set is countable. The proof uses imadomnum 10541 rather than imadomg 10540, and so does not require ax-ac 10464. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.) (Revised by Vincent Gonzalez, 25-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fimact	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

Proof of Theorem fimact

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9628	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → ω ∈ On)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → 𝐴 ≼ ω)
4		ondomen 10043	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → 𝐴 ∈ dom card)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → Fun 𝐹)
7		imadomnum 10541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
8	5, 6, 7	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
9		domtr 9016	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)
10	8, 3, 9	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   “ cima 5662  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-card 9947  df-acn 9950

This theorem is used by:  smfpimbor1lem1  47613