Theorem fimact 10488

Description: The image by a function of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fimact	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

Proof of Theorem fimact

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8935	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		imadomg 10487	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
3	2	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → 𝐴 ≼ ω)
6		domtr 8978	. 2 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ωcom 7842   ≼ cdom 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  46796