Theorem imadomg 10517

Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
imadomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5675	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		resfunexg 7214	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
3	2	dmexd 7899	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
4		funres 6579	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
5		funforn 6800	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
8		fodomg 10505	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
9	3, 7, 8	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
10	1, 9	eqbrtrid 5150	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
11	10	expcom 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
12		dmres 6012	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13		inss1 4197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
14	12, 13	eqsstri 3991	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomg 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 9003	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 604	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	18	expcom 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
20	11, 19	syld 48	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665  Fun wfun 6531  –onto→wfo 6535   ≼ cdom 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-ac2 10446

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099

This theorem is referenced by:  fimact  10518  uniimadom  10527  hausmapdom  23625  madefi  28071