MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imadomg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imadomg 10532
Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
imadomg (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
Proof of Theorem imadomg
StepHypRef Expression
1 df-ima 5689 . . . 4 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
2 resfunexg 7219 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
32dmexd 7899 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
4 funres 6590 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5 funforn 6812 . . . . . . 7 (Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
64, 5sylib 217 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
76adantr 480 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
8 fodomg 10520 . . . . 5 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
93, 7, 8sylc 65 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
101, 9eqbrtrid 5183 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
1110expcom 413 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
12 dmres 6003 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴
1412, 13eqsstri 4016 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴
15 ssdomg 8999 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
1614, 15mpi 20 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴)
17 domtr 9006 . . . 4 (((𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό 𝐴)
1816, 17sylan2 592 . . 3 (((𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό 𝐴)
1918expcom 413 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
2011, 19syld 47 1 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541   β‰Ό cdom 8940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-ac2 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114
This theorem is referenced by:  fimact  10533  uniimadom  10542  hausmapdom  23225
  Copyright terms: Public domain W3C validator