Theorem imadomg 10444

Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
imadomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5637	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		resfunexg 7161	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
3	2	dmexd 7845	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
4		funres 6534	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
5		funforn 6753	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
8		fodomg 10432	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
9	3, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
10	1, 9	eqbrtrid 5133	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
11	10	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
12		dmres 5971	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13		inss1 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
14	12, 13	eqsstri 3980	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomg 8937	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 8944	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	18	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
20	11, 19	syld 47	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486  –onto→wfo 6490   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-ac2 10373

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026

This theorem is referenced by:  fimact  10445  uniimadom  10454  hausmapdom  23444  madefi  27909