Theorem imadomg 9671

Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
imadomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5355	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		resfunexg 6735	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
3	2	dmexd 7360	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
4		funres 6165	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
5		funforn 6360	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
6	4, 5	sylib 210	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
7	6	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
8		fodomg 9660	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
9	3, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
10	1, 9	syl5eqbr 4908	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
11	10	expcom 404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
12		dmres 5655	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13		inss1 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
14	12, 13	eqsstri 3860	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomg 8268	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 8275	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 586	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	18	expcom 404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
20	11, 19	syld 47	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4873  dom cdm 5342  ran crn 5343   ↾ cres 5344   “ cima 5345  Fun wfun 6117  –onto→wfo 6121   ≼ cdom 8220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-ac2 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252

This theorem is referenced by:  fimact  9672  uniimadom  9681  hausmapdom  21674