Theorem imadomg 10420

Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
imadomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5624	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		resfunexg 7144	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
3	2	dmexd 7828	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
4		funres 6518	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
5		funforn 6737	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
8		fodomg 10408	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
9	3, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
10	1, 9	eqbrtrid 5121	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
11	10	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
12		dmres 5956	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
14	12, 13	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomg 8917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 8924	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	18	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
20	11, 19	syld 47	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  ran crn 5612   ↾ cres 5613   “ cima 5614  Fun wfun 6470  –onto→wfo 6474   ≼ cdom 8862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-ac2 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-card 9827  df-acn 9830  df-ac 10002

This theorem is referenced by:  fimact  10421  uniimadom  10430  hausmapdom  23410  madefi  27853