MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imadomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imadomg 9944
Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
imadomg (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg
StepHypRef Expression
1 df-ima 5561 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 resfunexg 6969 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
32dmexd 7604 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
4 funres 6390 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
5 funforn 6590 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
64, 5sylib 219 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
76adantr 481 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
8 fodomg 9933 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
93, 7, 8sylc 65 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
101, 9eqbrtrid 5092 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
1110expcom 414 . 2 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
12 dmres 5868 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13 inss1 4202 . . . . . 6 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1412, 13eqsstri 3998 . . . . 5 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
15 ssdomg 8543 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
1614, 15mpi 20 . . . 4 (𝐴𝐵 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
17 domtr 8550 . . . 4 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 17sylan2 592 . . 3 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1918expcom 414 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2011, 19syld 47 1 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  ontowfo 6346  cdom 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-ac2 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530
This theorem is referenced by:  fimact  9945  uniimadom  9954  hausmapdom  22036
  Copyright terms: Public domain W3C validator