MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imadomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imadomg 9645
Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
imadomg (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg
StepHypRef Expression
1 df-ima 5326 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 resfunexg 6709 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
32dmexd 7334 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
4 funres 6144 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
5 funforn 6339 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
64, 5sylib 210 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
76adantr 473 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
8 fodomg 9634 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
93, 7, 8sylc 65 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
101, 9syl5eqbr 4879 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
1110expcom 403 . 2 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
12 dmres 5630 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13 inss1 4029 . . . . . 6 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1412, 13eqsstri 3832 . . . . 5 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
15 ssdomg 8242 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
1614, 15mpi 20 . . . 4 (𝐴𝐵 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
17 domtr 8249 . . . 4 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 17sylan2 587 . . 3 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1918expcom 403 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2011, 19syld 47 1 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  Vcvv 3386  cin 3769  wss 3770   class class class wbr 4844  dom cdm 5313  ran crn 5314  cres 5315  cima 5316  Fun wfun 6096  ontowfo 6100  cdom 8194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-ac2 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-card 9052  df-acn 9055  df-ac 9226
This theorem is referenced by:  fimact  9646  uniimadom  9655  hausmapdom  21631
  Copyright terms: Public domain W3C validator