MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imadomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imadomg 10572
Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
imadomg (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))

Proof of Theorem imadomg
StepHypRef Expression
1 df-ima 5702 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 resfunexg 7235 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
32dmexd 7926 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
4 funres 6610 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
5 funforn 6828 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
64, 5sylib 218 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
76adantr 480 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
8 fodomg 10560 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
93, 7, 8sylc 65 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
101, 9eqbrtrid 5183 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
1110expcom 413 . 2 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴)))
12 dmres 6032 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
13 inss1 4245 . . . . . 6 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1412, 13eqsstri 4030 . . . . 5 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
15 ssdomg 9039 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
1614, 15mpi 20 . . . 4 (𝐴𝐵 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
17 domtr 9046 . . . 4 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 17sylan2 593 . . 3 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1918expcom 413 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2011, 19syld 47 1 (𝐴𝐵 → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  ontowfo 6561  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154
This theorem is referenced by:  fimact  10573  uniimadom  10582  hausmapdom  23524  madefi  27965
  Copyright terms: Public domain W3C validator