Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smfpimbor1lem1 46109
Description: Every open set belongs to 𝑇. This is the second step in the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem1.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimbor1lem1.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem1.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
smfpimbor1lem1.8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐽)
smfpimbor1lem1.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   πœ‘,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑒)   𝐺(𝑒)   𝐽(𝑒)
Proof of Theorem smfpimbor1lem1
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem1.j . . 3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
2 smfpimbor1lem1.8 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐽)
31, 2tgqioo2 44855 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž))
4 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž)) β†’ 𝐺 = βˆͺ π‘ž)
5 smfpimbor1lem1.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
6 smfpimbor1lem1.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
7 smfpimbor1lem1.a . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
8 smfpimbor1lem1.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)}
95, 6, 7, 8smfresal 46099 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ SAlg)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ 𝑇 ∈ SAlg)
11 iooex 13371 . . . . . . . . . . . 12 (,) ∈ V
1211imaexi 44517 . . . . . . . . . . 11 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ V)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
1513, 14ssexd 5318 . . . . . . . . 9 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž ∈ V)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž ∈ V)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
18 ioofun 44859 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (,)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ Fun (,))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
21 fvelima 6958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (,) ∧ π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š Γ— β„š)((,)β€˜π‘) = π‘ž)
2219, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š Γ— β„š)((,)β€˜π‘) = π‘ž)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š Γ— β„š)((,)β€˜π‘) = π‘ž)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((,)β€˜π‘) = π‘ž β†’ ((,)β€˜π‘) = π‘ž)
2524eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,)β€˜π‘) = π‘ž β†’ π‘ž = ((,)β€˜π‘))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ π‘ž = ((,)β€˜π‘))
27 1st2nd2 8026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ 𝑝 = ⟨(1st β€˜π‘), (2nd β€˜π‘)⟩)
2827fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜π‘) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘), (2nd β€˜π‘)⟩))
29 df-ov 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘), (2nd β€˜π‘)⟩)
3029eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘), (2nd β€˜π‘)⟩) = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘), (2nd β€˜π‘)⟩) = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)))
3228, 31eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜π‘) = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ ((,)β€˜π‘) = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)))
3426, 33eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ π‘ž = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)))
35343adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ π‘ž = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)))
36 ioossre 13409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) βŠ† ℝ
37 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ V
3837elpw 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝒫 ℝ ↔ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) βŠ† ℝ)
3936, 38mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝒫 ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝒫 ℝ)
415adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
43 xp1st 8019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ β„š)
4443qred 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ℝ)
4544rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ℝ*)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ ℝ*)
47 xp2nd 8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ β„š)
4847qred 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ℝ)
4948rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ℝ*)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ℝ*)
5141, 42, 7, 46, 50smfpimioo 46098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ (◑𝐹 β€œ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5240, 51jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ (((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
53 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))))
5453eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5554, 8elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝑇 ↔ (((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5652, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝑇)
57563adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ ((1st β€˜π‘)(,)(2nd β€˜π‘)) ∈ 𝑇)
5835, 57eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) ∧ ((,)β€˜π‘) = π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝑇)
59583exp 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ (((,)β€˜π‘) = π‘ž β†’ π‘ž ∈ 𝑇)))
6059rexlimdv 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š Γ— β„š)((,)β€˜π‘) = π‘ž β†’ π‘ž ∈ 𝑇))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š Γ— β„š)((,)β€˜π‘) = π‘ž β†’ π‘ž ∈ 𝑇))
6223, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž ∈ 𝑇)
6362ssd 44369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† 𝑇)
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† 𝑇)
6517, 64sstrd 3988 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž βŠ† 𝑇)
6616, 65elpwd 4604 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž ∈ 𝒫 𝑇)
67 ssdomg 9012 . . . . . . . . . 10 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ V β†’ (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
6812, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
69 qct 44667 . . . . . . . . . . . . 13 β„š β‰Ό Ο‰
7069, 69pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰)
71 xpct 10031 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰
73 fimact 10550 . . . . . . . . . . 11 (((β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰ ∧ Fun (,)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό Ο‰)
7472, 18, 73mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό Ο‰
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό Ο‰)
76 domtr 9019 . . . . . . . . 9 ((π‘ž β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό Ο‰) β†’ π‘ž β‰Ό Ο‰)
7768, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . . 8 (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘ž β‰Ό Ο‰)
7877adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ π‘ž β‰Ό Ο‰)
7910, 66, 78salunicl 45627 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑇)
8079adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž)) β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑇)
814, 80eqeltrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8281ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇))
8382exlimdv 1929 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐺 = βˆͺ π‘ž) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇))
843, 83mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  βŸ¨cop 4630  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986   β‰Ό cdom 8953  β„cr 11129  β„*cxr 11269  β„šcq 12954  (,)cioo 13348   β†Ύt crest 17393  topGenctg 17410  SAlgcsalg 45619  SMblFncsmblfn 46006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fl 13781  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-bases 22836  df-salg 45620  df-smblfn 46007
This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem2  46110
  Copyright terms: Public domain W3C validator