Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem1 44662
Description: Every open set belongs to 𝑇. This is the second step in the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem1.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem1.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem1.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem1.8 (𝜑𝐺𝐽)
smfpimbor1lem1.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem1 (𝜑𝐺𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑒)   𝐺(𝑒)   𝐽(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem1
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem1.j . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 smfpimbor1lem1.8 . . 3 (𝜑𝐺𝐽)
31, 2tgqioo2 43410 . 2 (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞))
4 simprr 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝐺 = 𝑞)
5 smfpimbor1lem1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfpimbor1lem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
7 smfpimbor1lem1.a . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
8 smfpimbor1lem1.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
95, 6, 7, 8smfresal 44652 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑇 ∈ SAlg)
11 iooex 13195 . . . . . . . . . . . 12 (,) ∈ V
1211imaexi 43077 . . . . . . . . . . 11 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
1513, 14ssexd 5265 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ∈ V)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ∈ V)
17 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
18 ioofun 43414 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (,)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → Fun (,))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
21 fvelima 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (,) ∧ 𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((,)‘𝑝) = 𝑞 → ((,)‘𝑝) = 𝑞)
2524eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞 = ((,)‘𝑝))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((,)‘𝑝))
27 1st2nd2 7930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → 𝑝 = ⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩)
2827fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘𝑝) = ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩))
29 df-ov 7332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) = ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩)
3029eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3228, 31eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘𝑝) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → ((,)‘𝑝) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3426, 33eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
35343adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
36 ioossre 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ⊆ ℝ
37 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ V
3837elpw 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ↔ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ⊆ ℝ)
3936, 38mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ)
415adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → 𝑆 ∈ SAlg)
426adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 xp1st 7923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℚ)
4443qred 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℝ)
4544rexrd 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℝ*)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (1st𝑝) ∈ ℝ*)
47 xp2nd 7924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℚ)
4847qred 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℝ)
4948rexrd 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℝ*)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (2nd𝑝) ∈ ℝ*)
5141, 42, 7, 46, 50smfpimioo 44651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷))
5240, 51jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
53 imaeq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))))
5453eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5554, 8elrab2 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇 ↔ (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5652, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇)
57563adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇)
5835, 57eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞𝑇)
59583exp 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇)))
6059rexlimdv 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → (∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇))
6223, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
6362ssd 42939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ 𝑇)
6463adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ 𝑇)
6517, 64sstrd 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
6616, 65elpwd 4552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ∈ 𝒫 𝑇)
67 ssdomg 8853 . . . . . . . . . 10 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6812, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
69 qct 43225 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ≼ ω
7069, 69pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω)
71 xpct 9865 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω) → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ × ℚ) ≼ ω
73 fimact 10384 . . . . . . . . . . 11 (((ℚ × ℚ) ≼ ω ∧ Fun (,)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
7472, 18, 73mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
76 domtr 8860 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → 𝑞 ≼ ω)
7768, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ω)
7877adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ≼ ω)
7910, 66, 78salunicl 44182 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
8079adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝑞𝑇)
814, 80eqeltrd 2837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝐺𝑇)
8281ex 413 . . 3 (𝜑 → ((𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞) → 𝐺𝑇))
8382exlimdv 1935 . 2 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞) → 𝐺𝑇))
843, 83mpd 15 1 (𝜑𝐺𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  wss 3897  𝒫 cpw 4546  cop 4578   cuni 4851   class class class wbr 5089   × cxp 5612  ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615  cima 5617  Fun wfun 6467  cfv 6473  (class class class)co 7329  ωcom 7772  1st c1st 7889  2nd c2nd 7890  cdom 8794  cr 10963  *cxr 11101  cq 12781  (,)cioo 13172  t crest 17220  topGenctg 17237  SAlgcsalg 44174  SMblFncsmblfn 44559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cc 10284  ax-ac2 10312  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-ac 9965  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-ioo 13176  df-ico 13178  df-fl 13605  df-rest 17222  df-topgen 17243  df-bases 22194  df-salg 44175  df-smblfn 44560
This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem2  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator