Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem1 43796
 Description: Every open set belongs to 𝑇. This is the second step in the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem1.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem1.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem1.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem1.8 (𝜑𝐺𝐽)
smfpimbor1lem1.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem1 (𝜑𝐺𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑒)   𝐺(𝑒)   𝐽(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem1
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem1.j . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 smfpimbor1lem1.8 . . 3 (𝜑𝐺𝐽)
31, 2tgqioo2 42550 . 2 (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞))
4 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝐺 = 𝑞)
5 smfpimbor1lem1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfpimbor1lem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
7 smfpimbor1lem1.a . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
8 smfpimbor1lem1.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
95, 6, 7, 8smfresal 43786 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑇 ∈ SAlg)
11 iooex 12802 . . . . . . . . . . . 12 (,) ∈ V
1211imaexi 42220 . . . . . . . . . . 11 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
1513, 14ssexd 5194 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ∈ V)
1615adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ∈ V)
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
18 ioofun 42554 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (,)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → Fun (,))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
21 fvelima 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (,) ∧ 𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
2219, 20, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
2322adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((,)‘𝑝) = 𝑞 → ((,)‘𝑝) = 𝑞)
2524eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞 = ((,)‘𝑝))
2625adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((,)‘𝑝))
27 1st2nd2 7732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → 𝑝 = ⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩)
2827fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘𝑝) = ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩))
29 df-ov 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) = ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩)
3029eqcomi 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨(1st𝑝), (2nd𝑝)⟩) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3228, 31eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘𝑝) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → ((,)‘𝑝) = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
3426, 33eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
35343adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)))
36 ioossre 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ⊆ ℝ
37 ovex 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ V
3837elpw 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ↔ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ⊆ ℝ)
3936, 38mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ)
415adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → 𝑆 ∈ SAlg)
426adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 xp1st 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℚ)
4443qred 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℝ)
4544rexrd 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (1st𝑝) ∈ ℝ*)
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (1st𝑝) ∈ ℝ*)
47 xp2nd 7726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℚ)
4847qred 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℝ)
4948rexrd 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (2nd𝑝) ∈ ℝ*)
5049adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (2nd𝑝) ∈ ℝ*)
5141, 42, 7, 46, 50smfpimioo 43785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷))
5240, 51jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
53 imaeq2 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))))
5453eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5554, 8elrab2 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇 ↔ (((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5652, 55sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇)
57563adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → ((1st𝑝)(,)(2nd𝑝)) ∈ 𝑇)
5835, 57eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) ∧ ((,)‘𝑝) = 𝑞) → 𝑞𝑇)
59583exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝 ∈ (ℚ × ℚ) → (((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇)))
6059rexlimdv 3207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → (∃𝑝 ∈ (ℚ × ℚ)((,)‘𝑝) = 𝑞𝑞𝑇))
6223, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
6362ssd 42089 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ 𝑇)
6463adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ 𝑇)
6517, 64sstrd 3902 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
6616, 65elpwd 4502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ∈ 𝒫 𝑇)
67 ssdomg 8573 . . . . . . . . . 10 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6812, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
69 qct 42362 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ≼ ω
7069, 69pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω)
71 xpct 9476 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω) → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℚ × ℚ) ≼ ω
73 fimact 9995 . . . . . . . . . . 11 (((ℚ × ℚ) ≼ ω ∧ Fun (,)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
7472, 18, 73mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
76 domtr 8580 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → 𝑞 ≼ ω)
7768, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑞 ≼ ω)
7877adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞 ≼ ω)
7910, 66, 78salunicl 43324 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝑞𝑇)
8079adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝑞𝑇)
814, 80eqeltrd 2852 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞)) → 𝐺𝑇)
8281ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞) → 𝐺𝑇))
8382exlimdv 1934 . 2 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐺 = 𝑞) → 𝐺𝑇))
843, 83mpd 15 1 (𝜑𝐺𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  ⟨cop 4528  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032   × cxp 5522  ◡ccnv 5523  dom cdm 5524  ran crn 5525   “ cima 5527  Fun wfun 6329  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ωcom 7579  1st c1st 7691  2nd c2nd 7692   ≼ cdom 8525  ℝcr 10574  ℝ*cxr 10712  ℚcq 12388  (,)cioo 12779   ↾t crest 16752  topGenctg 16769  SAlgcsalg 43316  SMblFncsmblfn 43700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cc 9895  ax-ac2 9923  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-acn 9404  df-ac 9576  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-fl 13211  df-rest 16754  df-topgen 16775  df-bases 21646  df-salg 43317  df-smblfn 43701 This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem2  43797
 Copyright terms: Public domain W3C validator