Theorem r1omfi 35107

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfi	⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Proof of Theorem r1omfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9656	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpli 483	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
3		eluniima 7184	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5		r1fin 9663	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑅1‘𝑦) ∈ Fin)
6		r1pwss 9674	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦))
7		ssfi 9082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅1‘𝑦) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	rexlimiva 3125	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		pwfir 9201	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
12	4, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ssriv 3938	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  ∪ cuni 4859  dom cdm 5616   “ cima 5619  Lim wlim 6307  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  ωcom 7796  Fincfn 8869  𝑅₁cr1 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-fin 8873  df-r1 9654

This theorem is referenced by:  r1omhf  35108  fineqvr1ombregs  35123