Theorem r1omfi 35621

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfi	⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Proof of Theorem r1omfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9752	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpli 489	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
3		eluniima 7251	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5		r1fin 9759	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑅1‘𝑦) ∈ Fin)
6		r1pwss 9770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦))
7		ssfi 9171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅1‘𝑦) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	rexlimiva 3157	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		pwfir 9290	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
12	4, 11	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ssriv 3938	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5659   “ cima 5662  Lim wlim 6362  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  ωcom 7866  Fincfn 8956  𝑅₁cr1 9748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-r1 9750

This theorem is used by:  r1omhf  35622  fineqvr1ombregs  35672