Theorem r1omfi 35248

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfi	⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Proof of Theorem r1omfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9690	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpli 483	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
3		eluniima 7205	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5		r1fin 9697	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑅1‘𝑦) ∈ Fin)
6		r1pwss 9708	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦))
7		ssfi 9107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅1‘𝑦) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	rexlimiva 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		pwfir 9227	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
12	4, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ssriv 3925	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  dom cdm 5631   “ cima 5634  Lim wlim 6324  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  ωcom 7817  Fincfn 8893  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897  df-r1 9688

This theorem is referenced by:  r1omhf  35249  fineqvr1ombregs  35282