Theorem r1omfi 35236

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfi	⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Proof of Theorem r1omfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9679	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpli 483	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
3		eluniima 7194	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5		r1fin 9686	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑅1‘𝑦) ∈ Fin)
6		r1pwss 9697	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦))
7		ssfi 9096	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅1‘𝑦) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	rexlimiva 3128	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		pwfir 9216	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
12	4, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ssriv 3921	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4531  ∪ cuni 4840  dom cdm 5620   “ cima 5623  Lim wlim 6313  Fun wfun 6481  ‘cfv 6487  ωcom 7806  Fincfn 8882  𝑅₁cr1 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-en 8883  df-dom 8884  df-fin 8886  df-r1 9677

This theorem is referenced by:  r1omhf  35237  fineqvr1ombregs  35270