Theorem axregs 35564

Description: Derivation of ax-regs 35551 from the axioms of ZF set theory. (Contributed by BTernaryTau, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
axregs	⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem axregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs2 9704	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
2		abn0 4344	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
3		df-ral 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
4	3	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
5		exnal 1860	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
6		annim 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
7		df-clab 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
8		sb6 2122	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
10		df-clab 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		sb6 2122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
13	12	anbi2ci 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
14		df-an 402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
15	13, 14	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
16	15	con2bii 360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	albii 1852	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		alnex 1814	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
19	17, 18	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
20	9, 19	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
21	6, 20	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
22	21	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
23	4, 5, 22	3bitr2i 302	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
24	1, 2, 23	3imtr3i 294	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812  [wsb 2099   ∈ wcel 2146  {cab 2744   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∅c0 4289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-reg 9556  ax-inf2 9612

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by: (None)