Theorem axregs 35560

Description: Derivation of ax-regs 35547 from the axioms of ZF set theory. (Contributed by BTernaryTau, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
axregs	⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem axregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs2 9700	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
2		abn0 4340	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
3		df-ral 3079	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
4	3	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
5		exnal 1856	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
6		annim 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
7		df-clab 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
8		sb6 2118	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
10		df-clab 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		sb6 2118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
13	12	anbi2ci 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
14		df-an 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
15	13, 14	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
16	15	con2bii 360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	albii 1848	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		alnex 1810	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
19	17, 18	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
20	9, 19	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
21	6, 20	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
22	21	exbii 1877	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
23	4, 5, 22	3bitr2i 302	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
24	1, 2, 23	3imtr3i 294	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1567  ∃wex 1808  [wsb 2095   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∅c0 4285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395

This theorem is used by: (None)