Theorem axregs 35907

Description: Derivation of ax-regs 35894 from the axioms of ZF set theory. (Contributed by BTernaryTau, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
axregs	⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem axregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs2 9761	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
2		abn0 4337	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
3		df-ral 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
4	3	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
5		exnal 1860	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
6		annim 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
7		df-clab 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
8		sb6 2124	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
10		df-clab 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		sb6 2124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
13	12	anbi2ci 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
14		df-an 402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
15	13, 14	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
16	15	con2bii 360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	albii 1852	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		alnex 1814	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
19	17, 18	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
20	9, 19	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
21	6, 20	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
22	21	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
23	4, 5, 22	3bitr2i 302	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
24	1, 2, 23	3imtr3i 294	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812  [wsb 2101   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∅c0 4281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-reg 9613  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446

This theorem is used by: (None)