Theorem axregs 35276

Description: Derivation of ax-regs 35263 from the axioms of ZF set theory. (Contributed by BTernaryTau, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
axregs	⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem axregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs2 9646	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
2		abn0 4338	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
3		df-ral 3053	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
5		exnal 1829	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
6		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
7		df-clab 2716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
8		sb6 2091	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
9	7, 8	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
10		df-clab 2716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		sb6 2091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
13	12	anbi2ci 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
14		df-an 396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
16	15	con2bii 357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	albii 1821	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		alnex 1783	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
19	17, 18	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
20	9, 19	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
21	6, 20	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
22	21	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
23	4, 5, 22	3bitr2i 299	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
24	1, 2, 23	3imtr3i 291	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781  [wsb 2068   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-reg 9501  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343

This theorem is referenced by: (None)