Theorem axregs 35073

Description: Derivation of ax-regs 35060 from the axioms of ZF set theory. (Contributed by BTernaryTau, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
axregs	⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem axregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs2 9648	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
2		abn0 4338	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
3		df-ral 3045	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
5		exnal 1827	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
6		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
7		df-clab 2708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)
8		sb6 2086	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
9	7, 8	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑))
10		df-clab 2708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
11		sb6 2086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))
13	12	anbi2ci 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
14		df-an 396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
16	15	con2bii 357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	16	albii 1819	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		alnex 1781	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ¬ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
19	17, 18	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑)))
20	9, 19	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ ¬ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
21	6, 20	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
22	21	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
23	4, 5, 22	3bitr2i 299	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑}∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))
24	1, 2, 23	3imtr3i 291	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∃𝑦(∀𝑥(𝑥 = 𝑦 → 𝜑) ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ ∀𝑥(𝑥 = 𝑧 → 𝜑))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538  ∃wex 1779  [wsb 2065   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by: (None)