MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fissuni 9363
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 dfss3 3970 . . . . 5 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
3 eluni2 4912 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑥𝑧)
43ralbii 3092 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
52, 4sylbb 218 . . . 4 (𝐴 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
65adantr 480 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
7 eleq2 2821 . . . 4 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
87ac6sfi 9293 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
91, 6, 8syl2anc 583 . 2 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
10 fimass 6738 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
11 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1211imaex 7911 . . . . . . 7 (𝑓𝐴) ∈ V
1312elpw 4606 . . . . . 6 ((𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
1410, 13sylibr 233 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
1514ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
16 ffun 6720 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → Fun 𝑓)
1716ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → Fun 𝑓)
18 simplr 766 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 ∈ Fin)
19 imafi 9181 . . . . 5 ((Fun 𝑓𝐴 ∈ Fin) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2017, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2115, 20elind 4194 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
22 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑓 Fn 𝐴)
24 ssidd 4005 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
26 fnfvima 7237 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn 𝐴𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
28 elssuni 4941 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
3029sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑥 (𝑓𝐴)))
3130ralimdva 3166 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴)))
3231imp 406 . . . . 5 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
33 dfss3 3970 . . . . 5 (𝐴 (𝑓𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
3432, 33sylibr 233 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → 𝐴 (𝑓𝐴))
3534adantl 481 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 (𝑓𝐴))
36 unieq 4919 . . . . 5 (𝑐 = (𝑓𝐴) → 𝑐 = (𝑓𝐴))
3736sseq2d 4014 . . . 4 (𝑐 = (𝑓𝐴) → (𝐴 𝑐𝐴 (𝑓𝐴)))
3837rspcev 3612 . . 3 (((𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 (𝑓𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
3921, 35, 38syl2anc 583 . 2 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
409, 39exlimddv 1937 1 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602   cuni 4908  cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  Fincfn 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8472  df-en 8946  df-fin 8949
This theorem is referenced by:  isacs3lem  18502  isnacs3  41763
  Copyright terms: Public domain W3C validator