MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fissuni 9389
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 dfss3 3970 . . . . 5 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
3 eluni2 4916 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑥𝑧)
43ralbii 3090 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
52, 4sylbb 218 . . . 4 (𝐴 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
65adantr 479 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
7 eleq2 2818 . . . 4 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
87ac6sfi 9318 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
91, 6, 8syl2anc 582 . 2 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
10 fimass 6748 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
11 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1211imaex 7928 . . . . . . 7 (𝑓𝐴) ∈ V
1312elpw 4610 . . . . . 6 ((𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
1410, 13sylibr 233 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
1514ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
16 ffun 6730 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → Fun 𝑓)
1716ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → Fun 𝑓)
18 simplr 767 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 ∈ Fin)
19 imafi 9206 . . . . 5 ((Fun 𝑓𝐴 ∈ Fin) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2017, 18, 19syl2anc 582 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2115, 20elind 4196 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
22 ffn 6727 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2322adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑓 Fn 𝐴)
24 ssidd 4005 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
25 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
26 fnfvima 7251 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn 𝐴𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
28 elssuni 4944 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
3029sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑥 (𝑓𝐴)))
3130ralimdva 3164 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴)))
3231imp 405 . . . . 5 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
33 dfss3 3970 . . . . 5 (𝐴 (𝑓𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
3432, 33sylibr 233 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → 𝐴 (𝑓𝐴))
3534adantl 480 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 (𝑓𝐴))
36 unieq 4923 . . . . 5 (𝑐 = (𝑓𝐴) → 𝑐 = (𝑓𝐴))
3736sseq2d 4014 . . . 4 (𝑐 = (𝑓𝐴) → (𝐴 𝑐𝐴 (𝑓𝐴)))
3837rspcev 3611 . . 3 (((𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 (𝑓𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
3921, 35, 38syl2anc 582 . 2 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
409, 39exlimddv 1930 1 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4606   cuni 4912  cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  isacs3lem  18541  isnacs3  42161
  Copyright terms: Public domain W3C validator