MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fissuni 9356
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 dfss3 3965 . . . . 5 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
3 eluni2 4906 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑥𝑧)
43ralbii 3087 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
52, 4sylbb 218 . . . 4 (𝐴 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
65adantr 480 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
7 eleq2 2816 . . . 4 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
87ac6sfi 9286 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
91, 6, 8syl2anc 583 . 2 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
10 fimass 6731 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
11 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1211imaex 7903 . . . . . . 7 (𝑓𝐴) ∈ V
1312elpw 4601 . . . . . 6 ((𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
1410, 13sylibr 233 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
1514ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
16 ffun 6713 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → Fun 𝑓)
1716ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → Fun 𝑓)
18 simplr 766 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 ∈ Fin)
19 imafi 9174 . . . . 5 ((Fun 𝑓𝐴 ∈ Fin) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2017, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2115, 20elind 4189 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
22 ffn 6710 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑓 Fn 𝐴)
24 ssidd 4000 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
26 fnfvima 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn 𝐴𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
28 elssuni 4934 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
3029sseld 3976 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑥 (𝑓𝐴)))
3130ralimdva 3161 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴)))
3231imp 406 . . . . 5 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
33 dfss3 3965 . . . . 5 (𝐴 (𝑓𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
3432, 33sylibr 233 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → 𝐴 (𝑓𝐴))
3534adantl 481 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 (𝑓𝐴))
36 unieq 4913 . . . . 5 (𝑐 = (𝑓𝐴) → 𝑐 = (𝑓𝐴))
3736sseq2d 4009 . . . 4 (𝑐 = (𝑓𝐴) → (𝐴 𝑐𝐴 (𝑓𝐴)))
3837rspcev 3606 . . 3 (((𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 (𝑓𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
3921, 35, 38syl2anc 583 . 2 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
409, 39exlimddv 1930 1 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  cin 3942  wss 3943  𝒫 cpw 4597   cuni 4902  cima 5672  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  wf 6532  cfv 6536  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  isacs3lem  18504  isnacs3  42008
  Copyright terms: Public domain W3C validator