Theorem gsummptcl 18681

Description: Closure of a finite group sum over a finite set as map. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2799	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 6606	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
9	6	fnmpt 6231	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
11		fvexd 6426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
12	10, 4, 11	fndmfifsupp 8530	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	gsumcl 18631	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  Vcvv 3385   ↦ cmpt 4922   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  Basecbs 16184  0_gc0g 16415   Σ_g cgsu 16416  CMndccmn 18508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-cntz 18062  df-cmn 18510

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18858  srgbinomlem4  18859  gsummgp0  18924  coe1fzgsumdlem  19993  evl1gsumdlem  20042  mamucl  20532  matgsumcl  20592  madetsmelbas  20596  madetsmelbas2  20597  mat1dimmul  20608  mavmulcl  20679  mdetleib2  20720  mdetf  20727  mdetdiaglem  20730  mdetdiag  20731  mdetrlin  20734  mdetrsca  20735  mdetralt  20740  gsummatr01  20792  smadiadet  20803  m2pmfzgsumcl  20881  decpmatmul  20905  pmatcollpw3fi1lem1  20919  pm2mpmhmlem2  20952  chfacfscmulgsum  20993  chfacfpmmulgsum  20997  cpmadugsumlemF  21009  cpmadugsumfi  21010  gsummptres  30300  mdetpmtr1  30405  gsumesum  30637  esumlub  30638  esum2d  30671  mgpsumz  42940  mgpsumn  42941  ply1mulgsum  42977