Theorem gsummptcl 18807

Description: Closure of a finite group sum over a finite set as map. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2795	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 6737	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
9	6	fnmpt 6356	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
11		fvexd 6553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
12	10, 4, 11	fndmfifsupp 8692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	gsumcl 18756	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5041   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  Basecbs 16312  0_gc0g 16542   Σ_g cgsu 16543  CMndccmn 18633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-cntz 18188  df-cmn 18635

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18982  srgbinomlem4  18983  gsummgp0  19048  coe1fzgsumdlem  20152  evl1gsumdlem  20201  mamucl  20694  matgsumcl  20753  madetsmelbas  20757  madetsmelbas2  20758  mat1dimmul  20769  mavmulcl  20840  mdetleib2  20881  mdetf  20888  mdetdiaglem  20891  mdetdiag  20892  mdetrlin  20895  mdetrsca  20896  mdetralt  20901  gsummatr01  20952  smadiadet  20963  m2pmfzgsumcl  21040  decpmatmul  21064  pmatcollpw3fi1lem1  21078  pm2mpmhmlem2  21111  chfacfscmulgsum  21152  chfacfpmmulgsum  21156  cpmadugsumlemF  21168  cpmadugsumfi  21169  gsummptres  30501  mdetpmtr1  30703  gsumesum  30935  esumlub  30936  esum2d  30969  mgpsumz  43888  mgpsumn  43889  ply1mulgsum  43924