Theorem gsummptcl 19483

Description: Closure of a finite group sum over a finite set as map. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 6966	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
9	6	fnmpt 6557	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
11		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
12	10, 4, 11	fndmfifsupp 9071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	gsumcl 19431	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-cntz 18838  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19693  srgbinomlem4  19694  gsummgp0  19762  coe1fzgsumdlem  21382  evl1gsumdlem  21432  mamucl  21458  matgsumcl  21517  madetsmelbas  21521  madetsmelbas2  21522  mat1dimmul  21533  mavmulcl  21604  mdetleib2  21645  mdetf  21652  mdetdiaglem  21655  mdetdiag  21656  mdetrlin  21659  mdetrsca  21660  mdetralt  21665  gsummatr01  21716  smadiadet  21727  m2pmfzgsumcl  21805  decpmatmul  21829  pmatcollpw3fi1lem1  21843  pm2mpmhmlem2  21876  chfacfscmulgsum  21917  chfacfpmmulgsum  21921  cpmadugsumlemF  21933  cpmadugsumfi  21934  gsummptres  31214  gsummptres2  31215  mdetpmtr1  31675  gsumesum  31927  esumlub  31928  esum2d  31961  mgpsumz  45586  mgpsumn  45587  ply1mulgsum  45619