Theorem gsummptcl 19897

Description: Closure of a finite group sum over a finite set as map. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7082	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋):𝑁⟶𝐵)
9	6	fnmpt 6658	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) Fn 𝑁)
11		fvexd 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
12	10, 4, 11	fndmfifsupp 9329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	gsumcl 19845	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cntz 19249  df-cmn 19712

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  20137  srgbinomlem4  20138  gsummgp0  20227  coe1fzgsumdlem  22190  evl1gsumdlem  22243  mamucl  22288  matgsumcl  22347  madetsmelbas  22351  madetsmelbas2  22352  mat1dimmul  22363  mavmulcl  22434  mdetleib2  22475  mdetf  22482  mdetdiaglem  22485  mdetdiag  22486  mdetrlin  22489  mdetrsca  22490  mdetralt  22495  gsummatr01  22546  smadiadet  22557  m2pmfzgsumcl  22635  decpmatmul  22659  pmatcollpw3fi1lem1  22673  pm2mpmhmlem2  22706  chfacfscmulgsum  22747  chfacfpmmulgsum  22751  cpmadugsumlemF  22763  cpmadugsumfi  22764  gsummptres  32992  gsummptres2  32993  mdetpmtr1  33813  gsumesum  34049  esumlub  34050  esum2d  34083  evl1gprodd  42105  idomnnzgmulnz  42121  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  aks6d1c5  42127  deg1gprod  42128  mgpsumz  48347  mgpsumn  48348  ply1mulgsum  48376