Theorem gsumesum 34570

Description: Relate a group sum on (ℝ^*_𝑠 ↾_s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumesum.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumesum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
gsumesum	⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumesum.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		gsumesum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		gsumesum.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	esumval 34557	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
7		xrltso 13193	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
9		iccssxr 13484	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 17694	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 21658	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13	4	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
14	1, 13	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	10, 12, 3, 14	gsummptcl 20095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
16	9, 15	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17		pwidg 4577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18	3, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18, 3	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		mpteq1 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	22	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
24	19, 20, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
25		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
26		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ V
27	25, 26	elrnmpti 5946	. . . 4 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
28	24, 27	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
29		mpteq1 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
30	29	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
31	30	cbvmptv 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
32		ovex 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
33	31, 32	elrnmpti 5946	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
34	33	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
35	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
36		inss2 4183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
38	36, 37	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
39		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
40	1, 39	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
41		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
42		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
43	42	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
44	43	elpwid 4566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
45	44	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
47	45, 46	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
48	41, 47, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
49	48	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑎 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	40, 49	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	10, 35, 38, 50	gsummptcl 20095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
52	9, 51	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
53		diffi 9170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
54	3, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
56		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝜑)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
58	57	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
59	56, 58, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
60	59	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
61	40, 60	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
62	10, 35, 55, 61	gsummptcl 20095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
63	9, 62	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
64		elxrge0 13511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
65	64	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
66	62, 65	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
67		xraddge02 33229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))))
68	67	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
69	52, 63, 66, 68	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
70	69	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
71		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
72	44	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
73		xrge00 33455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
74		xrge0plusg 21653	. . . . . . . . . 10 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
75	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
76	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
77		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
78	1, 4, 77	fmptdf 7111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
80	77	fnmpt 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
81	14, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
82		c0ex 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
84	81, 3, 83	fndmfifsupp 9349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
86		disjdif 4426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅)
88		undif 4438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
89	88	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
90	89	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
91	90	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
92	10, 73, 74, 75, 76, 79, 85, 87, 91	gsumsplit 20056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))))
93		resmpt 6033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
94	93	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
96		difss 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴
97		resmpt 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)
99	98	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
101	95, 100	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
102	92, 101	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
103	71, 72, 102	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
104	70, 103	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
105	104	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
106		r19.29r 3126	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
107		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
108	107	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
109	108	rexlimivw 3159	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
110	106, 109	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
111	34, 105, 110	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
112	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
113	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
114		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
115	36, 114	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
116		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
117	1, 116	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
118		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
119	42	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
120	119	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121	120	elpwid 4566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
122		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
123	121, 122	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
124	118, 123, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
125	124	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
126	117, 125	ralrimi 3260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
127	10, 113, 115, 126	gsummptcl 20095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
128	9, 127	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
129	128	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
130	25	rnmptss 7117	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
131	129, 130	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
132	131	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
133		xrltnle 11301	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
134	133	con2bid 357	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
135	112, 132, 134	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
136	111, 135	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦)
137	8, 16, 28, 136	supmax 9439	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
138	6, 137	eqtr2d 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Or wor 5562  ran crn 5656   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  (class class class)co 7414  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9332  supcsup 9411  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269   +_𝑒 cxad 13162  [,]cicc 13402   ↾_s cress 17323   Σ_g cgsu 17526  ℝ^*_𝑠cxrs 17587  CMndccmn 19908  Σ^*cesum 34538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-xadd 13165  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-ordt 17588  df-xrs 17589  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-ps 18655  df-tsr 18656  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-ntr 23246  df-nei 23324  df-cn 23453  df-haus 23541  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tsms 24354  df-esum 34539

This theorem is used by:  esumlub  34571