Theorem gsumesum 34744

Description: Relate a group sum on (ℝ^*_𝑠 ↾_s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumesum.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumesum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
gsumesum	⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumesum.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		gsumesum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		gsumesum.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	esumval 34731	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
7		xrltso 13280	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
9		iccssxr 13571	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 17791	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 21762	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13	4	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
14	1, 13	ralrimi 3263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	10, 12, 3, 14	gsummptcl 20193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
16	9, 15	sselid 3910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17		pwidg 4580	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18	3, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18, 3	elind 4099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		mpteq1 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	22	rspceeqv 3601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
24	19, 20, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
25		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
26		ovex 7460	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ V
27	25, 26	elrnmpti 5948	. . . 4 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
28	24, 27	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
29		mpteq1 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
30	29	oveq2d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
31	30	cbvmptv 5211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
32		ovex 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
33	31, 32	elrnmpti 5948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
34	33	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
35	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
36		inss2 4136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
38	36, 37	sselid 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
39		nfv 1948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
40	1, 39	nfan 1933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
41		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
42		inss1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
43	42	sseli 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
44	43	elpwid 4568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
45	44	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
47	45, 46	sseldd 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
48	41, 47, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
49	48	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑎 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	40, 49	ralrimi 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	10, 35, 38, 50	gsummptcl 20193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
52	9, 51	sselid 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
53		diffi 9201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
54	3, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
56		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝜑)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
58	57	eldifad 4053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
59	56, 58, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
60	59	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
61	40, 60	ralrimi 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
62	10, 35, 55, 61	gsummptcl 20193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
63	9, 62	sselid 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
64		elxrge0 13598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
65	64	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
66	62, 65	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
67		xraddge02 33402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))))
68	67	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
69	52, 63, 66, 68	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
70	69	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
71		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
72	44	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
73		xrge00 33628	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
74		xrge0plusg 21757	. . . . . . . . . 10 ⊢ +e = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
75	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
76	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
77		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
78	1, 4, 77	fmptdf 7125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
80	77	fnmpt 6687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
81	14, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
82		c0ex 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
84	81, 3, 83	fndmfifsupp 9380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
86		disjdif 4428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅)
88		undif 4440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
89	88	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
90	89	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
91	90	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
92	10, 73, 74, 75, 76, 79, 85, 87, 91	gsumsplit 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))))
93		resmpt 6034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
94	93	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
96		difss 4074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴
97		resmpt 6034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)
99	98	oveq2i 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
101	95, 100	oveq12d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
102	92, 101	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
103	71, 72, 102	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +e ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
104	70, 103	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
105	104	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
106		r19.29r 3129	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
107		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
108	107	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
109	108	rexlimivw 3162	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
110	106, 109	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
111	34, 105, 110	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
112	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
113	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
114		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
115	36, 114	sselid 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
116		nfv 1948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
117	1, 116	nfan 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
118		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
119	42	sseli 3908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
120	119	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121	120	elpwid 4568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
122		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
123	121, 122	sseldd 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
124	118, 123, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
125	124	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
126	117, 125	ralrimi 3263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
127	10, 113, 115, 126	gsummptcl 20193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
128	9, 127	sselid 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
129	128	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
130	25	rnmptss 7131	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
131	129, 130	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
132	131	sselda 3912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
133		xrltnle 11386	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
134	133	con2bid 357	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
135	112, 132, 134	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
136	111, 135	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦)
137	8, 16, 28, 136	supmax 9470	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
138	6, 137	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047   ∩ cin 4091   ∪ cun 4151  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   Or wor 5561  ran crn 5655   ↾ cres 5656   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  (class class class)co 7427  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9364  supcsup 9442  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354   +_e cxad 13249  [,]cicc 13489   ↾_s cress 17420   Σ_g cgsu 17623  ℝ^*_𝑠cxrs 17684  CMndccmn 20006  Σ^*cesum 34712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-xadd 13252  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-ordt 17685  df-xrs 17686  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-ps 18752  df-tsr 18753  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-ntr 23350  df-nei 23428  df-cn 23557  df-haus 23645  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-tsms 24458  df-esum 34713

This theorem is used by:  esumlub  34745