Theorem gsumesum 30931

Description: Relate a group sum on (ℝ^*_𝑠 ↾_s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumesum.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumesum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
gsumesum	⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumesum.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2951	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		gsumesum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		gsumesum.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		eqidd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	esumval 30918	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
7		xrltso 12388	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
9		iccssxr 12673	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 30342	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 20273	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13	4	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
14	1, 13	ralrimi 3185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	10, 12, 3, 14	gsummptcl 18811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
16	9, 15	sseldi 3893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17		pwidg 4474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18, 3	elind 4098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20		eqidd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		mpteq1 5055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	22	rspceeqv 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
24	19, 20, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
25		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
26		ovex 7055	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ V
27	25, 26	elrnmpti 5721	. . . 4 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
28	24, 27	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
30		mpteq1 5055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
31	30	oveq2d 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
32	31	cbvmptv 5068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
33		ovex 7055	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
34	32, 33	elrnmpti 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
35	29, 34	sylib 219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
36	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
37		inss2 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
39	37, 38	sseldi 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
40		nfv 1896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
41	1, 40	nfan 1885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
43		inss1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
44	43	sseli 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
45	44	elpwid 4471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
46	45	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
47		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
48	46, 47	sseldd 3896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
49	42, 48, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
50	49	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑎 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
51	41, 50	ralrimi 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	10, 36, 39, 51	gsummptcl 18811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 52	sseldi 3893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
54		diffi 8603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
55	3, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
57		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝜑)
58		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
59	58	eldifad 3877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
60	57, 59, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
61	60	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
62	41, 61	ralrimi 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
63	10, 36, 56, 62	gsummptcl 18811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
64	9, 63	sseldi 3893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
65		elxrge0 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
66	65	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
68		xraddge02 30164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))))
69	68	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
70	53, 64, 67, 69	syl21anc 834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
71	70	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
72		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
73	45	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
74		xrge00 30343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
75		xrge0plusg 30344	. . . . . . . . . 10 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
76	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
77	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
78		eqid 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
79	1, 4, 78	fmptdf 6751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
81	78	fnmpt 6363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
82	14, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
83		c0ex 10488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
85	82, 3, 84	fndmfifsupp 8699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
87		disjdif 4341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅)
89		undif 4350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
90	89	biimpi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
93	10, 74, 75, 76, 77, 80, 86, 88, 92	gsumsplit 18772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))))
94		resmpt 5793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
95	94	oveq2d 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
97		difss 4035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴
98		resmpt 5793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
99	97, 98	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)
100	99	oveq2i 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
102	96, 101	oveq12d 7041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
103	93, 102	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
104	72, 73, 103	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
105	71, 104	breqtrrd 4996	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
106	105	ralrimiva 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
107		r19.29r 3221	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
108		breq1 4971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
109	108	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
110	109	rexlimivw 3247	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
111	107, 110	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
112	35, 106, 111	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
113	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
114	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
115		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
116	37, 115	sseldi 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
117		nfv 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
118	1, 117	nfan 1885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119		simpll 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
120	43	sseli 3891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121	120	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122	121	elpwid 4471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
123		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
124	122, 123	sseldd 3896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
125	119, 124, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
126	125	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
127	118, 126	ralrimi 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
128	10, 114, 116, 127	gsummptcl 18811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
129	9, 128	sseldi 3893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
130	129	ralrimiva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
131	25	rnmptss 6756	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
132	130, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
133	132	sselda 3895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
134		xrltnle 10561	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
135	134	con2bid 356	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
136	113, 133, 135	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
137	112, 136	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦)
138	8, 16, 28, 137	supmax 8784	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
139	6, 138	eqtr2d 2834	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525  Ⅎwnf 1769   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  𝒫 cpw 4459   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   Or wor 5368  ran crn 5451   ↾ cres 5452   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  (class class class)co 7023  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  supcsup 8757  0cc0 10390  +∞cpnf 10525  ℝ^*cxr 10527   < clt 10528   ≤ cle 10529   +_𝑒 cxad 12359  [,]cicc 12595   ↾_s cress 16317   Σ_g cgsu 16547  ℝ^*_𝑠cxrs 16606  CMndccmn 18637  Σ^*cesum 30899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-xadd 12362  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-ordt 16607  df-xrs 16608  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-ps 17643  df-tsr 17644  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-ntr 21316  df-nei 21394  df-cn 21523  df-haus 21611  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-tsms 22422  df-esum 30900

This theorem is referenced by:  esumlub  30932