Theorem gsumesum 33046

Description: Relate a group sum on (ℝ^*_𝑠 ↾_s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumesum.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumesum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
gsumesum	⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumesum.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		gsumesum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		gsumesum.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		eqidd 2734	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	esumval 33033	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
7		xrltso 13117	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
9		iccssxr 13404	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 32174	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 20980	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13	4	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
14	1, 13	ralrimi 3255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	10, 12, 3, 14	gsummptcl 19830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
16	9, 15	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17		pwidg 4622	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18, 3	elind 4194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		mpteq1 5241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	22	rspceeqv 3633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
24	19, 20, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
25		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
26		ovex 7439	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ V
27	25, 26	elrnmpti 5958	. . . 4 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
28	24, 27	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
29		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
30		mpteq1 5241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
31	30	oveq2d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
32	31	cbvmptv 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
33		ovex 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
34	32, 33	elrnmpti 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
35	29, 34	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
36	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
37		inss2 4229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
38		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
39	37, 38	sselid 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
40		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
41	1, 40	nfan 1903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
43		inss1 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
44	43	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
45	44	elpwid 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
46	45	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
47		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
48	46, 47	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
49	42, 48, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
50	49	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑎 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
51	41, 50	ralrimi 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	10, 36, 39, 51	gsummptcl 19830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 52	sselid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
54		diffi 9176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
55	3, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
56	55	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
57		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝜑)
58		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
59	58	eldifad 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
60	57, 59, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
61	60	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
62	41, 61	ralrimi 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
63	10, 36, 56, 62	gsummptcl 19830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
64	9, 63	sselid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
65		elxrge0 13431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
66	65	simprbi 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
68		xraddge02 31957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))))
69	68	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
70	53, 64, 67, 69	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
71	70	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
72		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
73	45	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
74		xrge00 32175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
75		xrge0plusg 32176	. . . . . . . . . 10 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
76	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
77	3	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
78		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
79	1, 4, 78	fmptdf 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
80	79	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
81	78	fnmpt 6688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
82	14, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
83		c0ex 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
85	82, 3, 84	fndmfifsupp 9373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
86	85	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
87		disjdif 4471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅)
89		undif 4481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
90	89	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
92	91	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
93	10, 74, 75, 76, 77, 80, 86, 88, 92	gsumsplit 19791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))))
94		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
95	94	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
96	95	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
97		difss 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴
98		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
99	97, 98	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)
100	99	oveq2i 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
102	96, 101	oveq12d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
103	93, 102	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
104	72, 73, 103	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
105	71, 104	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
106	105	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
107		r19.29r 3117	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
108		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
109	108	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
110	109	rexlimivw 3152	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
111	107, 110	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
112	35, 106, 111	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
113	16	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
114	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
115		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
116	37, 115	sselid 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
117		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
118	1, 117	nfan 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
120	43	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121	120	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122	121	elpwid 4611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
123		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
124	122, 123	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
125	119, 124, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
126	125	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
127	118, 126	ralrimi 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
128	10, 114, 116, 127	gsummptcl 19830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
129	9, 128	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
130	129	ralrimiva 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
131	25	rnmptss 7119	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
132	130, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
133	132	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
134		xrltnle 11278	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
135	134	con2bid 355	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
136	113, 133, 135	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
137	112, 136	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦)
138	8, 16, 28, 137	supmax 9459	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
139	6, 138	eqtr2d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587  ran crn 5677   ↾ cres 5678   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  (class class class)co 7406  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  supcsup 9432  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   +_𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324   ↾_s cress 17170   Σ_g cgsu 17383  ℝ^*_𝑠cxrs 17443  CMndccmn 19643  Σ^*cesum 33014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-ordt 17444  df-xrs 17445  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-ps 18516  df-tsr 18517  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-ntr 22516  df-nei 22594  df-cn 22723  df-haus 22811  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-tsms 23623  df-esum 33015

This theorem is referenced by:  esumlub  33047