Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumesum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumesum 33045
Description: Relate a group sum on (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumesum.0 𝑘𝜑
gsumesum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
gsumesum (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumesum.0 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2903 . . 3 𝑘𝐴
3 gsumesum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 gsumesum.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 eqidd 2733 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5esumval 33032 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
7 xrltso 13116 . . . 4 < Or ℝ*
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
9 iccssxr 13403 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 32173 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 20979 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
134ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
141, 13ralrimi 3254 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1510, 12, 3, 14gsummptcl 19829 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
169, 15sselid 3979 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
17 pwidg 4621 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1918, 3elind 4193 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20 eqidd 2733 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
21 mpteq1 5240 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
2221oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
2322rspceeqv 3632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2419, 20, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
25 eqid 2732 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
26 ovex 7438 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ V
2725, 26elrnmpti 5957 . . . 4 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2824, 27sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
29 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
30 mpteq1 5240 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3231cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
33 ovex 7438 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
3432, 33elrnmpti 5957 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3529, 34sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3611a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
37 inss2 4228 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3937, 38sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
40 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
411, 40nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
43 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
4443sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
4544elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
4846, 47sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
4942, 48, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5049ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑎𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5141, 50ralrimi 3254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5210, 36, 39, 51gsummptcl 19829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
539, 52sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ*)
54 diffi 9175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
57 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝜑)
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴𝑎))
5958eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘𝐴)
6057, 59, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6160ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6241, 61ralrimi 3254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6310, 36, 56, 62gsummptcl 19829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
649, 63sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
65 elxrge0 13430 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
6665simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
6763, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
68 xraddge02 31956 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))))
6968imp 407 . . . . . . . . 9 (((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7053, 64, 67, 69syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7170adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
72 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
7345adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
74 xrge00 32174 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
75 xrge0plusg 32175 . . . . . . . . . 10 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7611a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
773adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
78 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
791, 4, 78fmptdf 7113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8178fnmpt 6687 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
8214, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
83 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ V)
8582, 3, 84fndmfifsupp 9372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
8685adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
87 disjdif 4470 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅)
89 undif 4480 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9089biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9190eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9291adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9310, 74, 75, 76, 77, 80, 86, 88, 92gsumsplit 19790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))))
94 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘𝑎𝐵))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
9695adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
97 difss 4130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑎) ⊆ 𝐴
98 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)
10099oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
101100a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
10296, 101oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10393, 102eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10472, 73, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10571, 104breqtrrd 5175 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
106105ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
107 r19.29r 3116 . . . . . 6 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
108 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
109108biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
110109rexlimivw 3151 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
111107, 110syl 17 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11235, 106, 111syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11316adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
11411a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
115 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11637, 115sselid 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
117 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
1181, 117nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
12043sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122121elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
123 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
124122, 123sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
125119, 124, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
126125ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
127118, 126ralrimi 3254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12810, 114, 116, 127gsummptcl 19829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
1299, 128sselid 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
130129ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
13125rnmptss 7118 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
132130, 131syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
133132sselda 3981 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
134 xrltnle 11277 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
135134con2bid 354 . . . . 5 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
136113, 133, 135syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
137112, 136mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦)
1388, 16, 28, 137supmax 9458 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
1396, 138eqtr2d 2773 1 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5586  ran crn 5676  cres 5677   Fn wfn 6535  wf 6536  (class class class)co 7405  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  supcsup 9431  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  s cress 17169   Σg cgsu 17382  *𝑠cxrs 17442  CMndccmn 19642  Σ*cesum 33013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622  df-esum 33014
This theorem is referenced by:  esumlub  33046
  Copyright terms: Public domain W3C validator