Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumesum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumesum 31739
Description: Relate a group sum on (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumesum.0 𝑘𝜑
gsumesum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
gsumesum (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumesum.0 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2904 . . 3 𝑘𝐴
3 gsumesum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 gsumesum.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5esumval 31726 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
7 xrltso 12731 . . . 4 < Or ℝ*
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
9 iccssxr 13018 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 31013 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 20405 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
134ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
141, 13ralrimi 3137 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1510, 12, 3, 14gsummptcl 19352 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
169, 15sseldi 3899 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
17 pwidg 4535 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1918, 3elind 4108 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
21 mpteq1 5143 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
2221oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
2322rspceeqv 3552 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2419, 20, 23syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
25 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
26 ovex 7246 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ V
2725, 26elrnmpti 5829 . . . 4 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2824, 27sylibr 237 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
29 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
30 mpteq1 5143 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
3130oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3231cbvmptv 5158 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
33 ovex 7246 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
3432, 33elrnmpti 5829 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3529, 34sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3611a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
37 inss2 4144 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3937, 38sseldi 3899 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
40 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
411, 40nfan 1907 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
42 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
43 inss1 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
4443sseli 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
4544elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
4645ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
47 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
4846, 47sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
4942, 48, 4syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5049ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑎𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5141, 50ralrimi 3137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5210, 36, 39, 51gsummptcl 19352 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
539, 52sseldi 3899 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ*)
54 diffi 8906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
57 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝜑)
58 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴𝑎))
5958eldifad 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘𝐴)
6057, 59, 4syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6160ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6241, 61ralrimi 3137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6310, 36, 56, 62gsummptcl 19352 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
649, 63sseldi 3899 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
65 elxrge0 13045 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
6665simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
6763, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
68 xraddge02 30799 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))))
6968imp 410 . . . . . . . . 9 (((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7053, 64, 67, 69syl21anc 838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7170adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
72 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
7345adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
74 xrge00 31014 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
75 xrge0plusg 31015 . . . . . . . . . 10 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7611a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
773adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
78 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
791, 4, 78fmptdf 6934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8079adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8178fnmpt 6518 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
8214, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
83 c0ex 10827 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ V)
8582, 3, 84fndmfifsupp 8998 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
8685adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
87 disjdif 4386 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅)
89 undif 4396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9089biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9190eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9291adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9310, 74, 75, 76, 77, 80, 86, 88, 92gsumsplit 19313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))))
94 resmpt 5905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘𝑎𝐵))
9594oveq2d 7229 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
9695adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
97 difss 4046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑎) ⊆ 𝐴
98 resmpt 5905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)
10099oveq2i 7224 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
101100a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
10296, 101oveq12d 7231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10393, 102eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10472, 73, 103syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10571, 104breqtrrd 5081 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
106105ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
107 r19.29r 3177 . . . . . 6 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
108 breq1 5056 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
109108biimpar 481 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
110109rexlimivw 3201 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
111107, 110syl 17 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11235, 106, 111syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11316adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
11411a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
115 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11637, 115sseldi 3899 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
117 nfv 1922 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
1181, 117nfan 1907 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
12043sseli 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
121120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122121elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
123 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
124122, 123sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
125119, 124, 4syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
126125ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
127118, 126ralrimi 3137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12810, 114, 116, 127gsummptcl 19352 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
1299, 128sseldi 3899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
130129ralrimiva 3105 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
13125rnmptss 6939 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
132130, 131syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
133132sselda 3901 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
134 xrltnle 10900 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
135134con2bid 358 . . . . 5 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
136113, 133, 135syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
137112, 136mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦)
1388, 16, 28, 137supmax 9083 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
1396, 138eqtr2d 2778 1 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135   Or wor 5467  ran crn 5552  cres 5553   Fn wfn 6375  wf 6376  (class class class)co 7213  Fincfn 8626   finSupp cfsupp 8985  supcsup 9056  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868   +𝑒 cxad 12702  [,]cicc 12938  s cress 16784   Σg cgsu 16945  *𝑠cxrs 17005  CMndccmn 19170  Σ*cesum 31707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-xrs 17007  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-ntr 21917  df-nei 21995  df-cn 22124  df-haus 22212  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-tsms 23024  df-esum 31708
This theorem is referenced by:  esumlub  31740
  Copyright terms: Public domain W3C validator