Theorem esumgsum 34018

Description: A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumgsum.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumgsum.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumgsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
esumgsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumgsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Proof of Theorem esumgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumgsum.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumgsum.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumgsum.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		esumgsum.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		xrge0base 17511	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge00 32969	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		xrge0cmn 21351	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
9		xrge0tps 33915	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
11		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	1, 2, 11, 4, 12	fmptdF 32600	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
14	4	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
15	1, 14	ralrimi 3227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	2	fnmptf 6618	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
18		0xr 11162	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
20	17, 3, 19	fndmfifsupp 9268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
21	5, 6, 8, 10, 3, 13, 20	tsmsid 24025	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
22	1, 2, 3, 4, 21	esumid 34017	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5173   Fn wfn 6477  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148  [,]cicc 13251   ↾_s cress 17141   Σ_g cgsu 17344  ℝ^*_𝑠cxrs 17404  CMndccmn 19659  TopSpctps 22817  Σ^*cesum 34000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-haus 23200  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-tsms 24012  df-esum 34001

This theorem is referenced by:  esum2d  34066