Theorem esumgsum 34229

Description: A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumgsum.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumgsum.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumgsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
esumgsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumgsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Proof of Theorem esumgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumgsum.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumgsum.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumgsum.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		esumgsum.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		xrge0base 17542	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge00 33113	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		xrge0cmn 21416	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
9		xrge0tps 34126	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
11		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	1, 2, 11, 4, 12	fmptdF 32752	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
14	4	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
15	1, 14	ralrimi 3236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	2	fnmptf 6638	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
18		0xr 11193	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
20	17, 3, 19	fndmfifsupp 9295	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
21	5, 6, 8, 10, 3, 13, 20	tsmsid 24101	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
22	1, 2, 3, 4, 21	esumid 34228	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5181   Fn wfn 6497  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179  [,]cicc 13278   ↾_s cress 17171   Σ_g cgsu 17374  ℝ^*_𝑠cxrs 17435  CMndccmn 19726  TopSpctps 22893  Σ^*cesum 34211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-xadd 13041  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-ordt 17436  df-xrs 17437  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-ps 18503  df-tsr 18504  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-cn 23188  df-haus 23276  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-tsms 24088  df-esum 34212

This theorem is referenced by:  esum2d  34277