Theorem esumgsum 34610

Description: A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumgsum.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumgsum.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumgsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
esumgsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumgsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Proof of Theorem esumgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumgsum.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumgsum.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumgsum.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		esumgsum.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		xrge0base 17740	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge00 33508	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		xrge0cmn 21711	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
9		xrge0tps 34507	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
11		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	1, 2, 11, 4, 12	fmptdf2 33183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
14	4	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
15	1, 14	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	2	fnmptf 6663	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
18		0xr 11327	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
20	17, 3, 19	fndmfifsupp 9348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
21	5, 6, 8, 10, 3, 13, 20	tsmsid 24420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
22	1, 2, 3, 4, 21	esumid 34609	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6522  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  0cc0 11171  +∞cpnf 11311  ℝ^*cxr 11313  [,]cicc 13448   ↾_s cress 17369   Σ_g cgsu 17572  ℝ^*_𝑠cxrs 17633  CMndccmn 19955  TopSpctps 23211  Σ^*cesum 34592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-xadd 13211  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-ordt 17634  df-xrs 17635  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-ps 18701  df-tsr 18702  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-cn 23506  df-haus 23594  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-tsms 24407  df-esum 34593

This theorem is used by:  esum2d  34658