Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumgsum 31725
Description: A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumgsum.1 𝑘𝜑
esumgsum.2 𝑘𝐴
esumgsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumgsum.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumgsum (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))

Proof of Theorem esumgsum
StepHypRef Expression
1 esumgsum.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumgsum.2 . 2 𝑘𝐴
3 esumgsum.3 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 esumgsum.4 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 xrge0base 31013 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge00 31014 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 xrge0cmn 20405 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
9 xrge0tps 31606 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
11 nfcv 2904 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
12 eqid 2737 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
131, 2, 11, 4, 12fmptdF 30713 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
144ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
151, 14ralrimi 3137 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
162fnmptf 6514 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
18 0xr 10880 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
2017, 3, 19fndmfifsupp 8998 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
215, 6, 8, 10, 3, 13, 20tsmsid 23037 . 2 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
221, 2, 3, 4, 21esumid 31724 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wnfc 2884  wral 3061  cmpt 5135   Fn wfn 6375  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  *cxr 10866  [,]cicc 12938  s cress 16784   Σg cgsu 16945  *𝑠cxrs 17005  CMndccmn 19170  TopSpctps 21829  Σ*cesum 31707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-xrs 17007  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-haus 22212  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-tsms 23024  df-esum 31708
This theorem is referenced by:  esum2d  31773
  Copyright terms: Public domain W3C validator