MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcsetcres2 18076
Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
resssetc.d 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘‰)
resssetc.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ π‘Š)
resssetc.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcres2 (πœ‘ β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
Proof of Theorem funcsetcres2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜πΈ) = (Homf β€˜πΈ))
2 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜πΈ) = (compfβ€˜πΈ))
3 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
4 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 resssetc.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ π‘Š)
6 resssetc.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
76setccat 18068 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ π‘Š β†’ 𝐢 ∈ Cat)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 resssetc.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
116, 5setcbas 18061 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
1210, 11sseqtrd 4014 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
14 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝐢 β†Ύs 𝑉) = (𝐢 β†Ύs 𝑉)
15 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))
163, 4, 9, 13, 14, 15fullresc 17831 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))))))
1716simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
18 resssetc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘‰)
196, 18, 5, 10resssetc 18075 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·)))
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·)))
2120simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·))
2217, 21eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (Homf β€˜π·))
2316simprd 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
2420simprd 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·))
2523, 24eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (compfβ€˜π·))
26 funcrcl 17843 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) β†’ (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2827simpld 493 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ Cat)
293, 4, 9, 13fullsubc 17830 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
3015, 29subccat 17828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ Cat)
3127simprd 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
321, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31funcpropd 17883 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33 funcres2 17878 . . . . . 6 (((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
3429, 33syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
3532, 34eqsstrrd 4013 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
36 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
3735, 36sseldd 3974 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐢))
3837ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐢)))
3938ssrdv 3979 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  Catccat 17638  Homf chomf 17640  compfccomf 17641   β†Ύcat cresc 17785  Subcatcsubc 17786   Func cfunc 17834  SetCatcsetc 18058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17642  df-cid 17643  df-homf 17644  df-comf 17645  df-ssc 17787  df-resc 17788  df-subc 17789  df-func 17838  df-setc 18059
This theorem is referenced by:  yonedalem1  18258
  Copyright terms: Public domain W3C validator