Theorem funcsetcres2 17724

Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
resssetc.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcres2	⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘𝐸) = (Homf ‘𝐸))
2		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘𝐸) = (compf‘𝐸))
3		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
5		resssetc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
6		resssetc.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
7	6	setccat 17716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ Cat)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10		resssetc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 5	setcbas 17709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	sseqtrd 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑉) = (𝐶 ↾s 𝑉)
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
16	3, 4, 9, 13, 14, 15	fullresc 17482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
17	16	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18		resssetc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
19	6, 18, 5, 10	resssetc 17723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
21	20	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷))
22	17, 21	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf ‘𝐷))
23	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
24	20	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷))
25	23, 24	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf‘𝐷))
26		funcrcl 17494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
28	27	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
29	3, 4, 9, 13	fullsubc 17481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
30	15, 29	subccat 17479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
31	27	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31	funcpropd 17532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33		funcres2 17529	. . . . . 6 ⊢ (((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
34	29, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
35	32, 34	eqsstrrd 3956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
37	35, 36	sseldd 3918	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
38	37	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
39	38	ssrdv 3923	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Catccat 17290  Hom_f chomf 17292  comp_fccomf 17293   ↾_cat cresc 17437  Subcatcsubc 17438   Func cfunc 17485  SetCatcsetc 17706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-homf 17296  df-comf 17297  df-ssc 17439  df-resc 17440  df-subc 17441  df-func 17489  df-setc 17707

This theorem is referenced by:  yonedalem1  17906