MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcsetcres2 18067
Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
resssetc.d 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘‰)
resssetc.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ π‘Š)
resssetc.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcres2 (πœ‘ β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
Proof of Theorem funcsetcres2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜πΈ) = (Homf β€˜πΈ))
2 eqidd 2728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜πΈ) = (compfβ€˜πΈ))
3 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
4 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 resssetc.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ π‘Š)
6 resssetc.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
76setccat 18059 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ π‘Š β†’ 𝐢 ∈ Cat)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 resssetc.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
116, 5setcbas 18052 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
1210, 11sseqtrd 4018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
14 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝐢 β†Ύs 𝑉) = (𝐢 β†Ύs 𝑉)
15 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))
163, 4, 9, 13, 14, 15fullresc 17822 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))))))
1716simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
18 resssetc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘‰)
196, 18, 5, 10resssetc 18066 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·)))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·) ∧ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·)))
2120simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (Homf β€˜π·))
2217, 21eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (Homf β€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (Homf β€˜π·))
2316simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
2420simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑉)) = (compfβ€˜π·))
2523, 24eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (compfβ€˜(𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (compfβ€˜π·))
26 funcrcl 17834 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) β†’ (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2827simpld 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐸 ∈ Cat)
293, 4, 9, 13fullsubc 17821 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
3015, 29subccat 17819 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ Cat)
3127simprd 495 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
321, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31funcpropd 17874 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33 funcres2 17869 . . . . . 6 (((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
3429, 33syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func (𝐢 β†Ύcat ((Homf β€˜πΆ) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
3532, 34eqsstrrd 4017 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
36 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
3735, 36sseldd 3979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐢))
3837ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐢)))
3938ssrdv 3984 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 Func 𝐷) βŠ† (𝐸 Func 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  Catccat 17629  Homf chomf 17631  compfccomf 17632   β†Ύcat cresc 17776  Subcatcsubc 17777   Func cfunc 17825  SetCatcsetc 18049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-hom 17242  df-cco 17243  df-cat 17633  df-cid 17634  df-homf 17635  df-comf 17636  df-ssc 17778  df-resc 17779  df-subc 17780  df-func 17829  df-setc 18050
This theorem is referenced by:  yonedalem1  18249
  Copyright terms: Public domain W3C validator