Theorem funcsetcres2 18017

Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
resssetc.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcres2	⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘𝐸) = (Homf ‘𝐸))
2		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘𝐸) = (compf‘𝐸))
3		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
5		resssetc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
6		resssetc.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
7	6	setccat 18009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ Cat)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10		resssetc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 5	setcbas 18002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑉) = (𝐶 ↾s 𝑉)
15		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
16	3, 4, 9, 13, 14, 15	fullresc 17775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
17	16	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18		resssetc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
19	6, 18, 5, 10	resssetc 18016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
21	20	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷))
22	17, 21	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf ‘𝐷))
23	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
24	20	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷))
25	23, 24	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf‘𝐷))
26		funcrcl 17787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
28	27	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
29	3, 4, 9, 13	fullsubc 17774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
30	15, 29	subccat 17772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
31	27	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31	funcpropd 17826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33		funcres2 17822	. . . . . 6 ⊢ (((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
34	29, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
35	32, 34	eqsstrrd 3969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
37	35, 36	sseldd 3934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
38	37	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
39	38	ssrdv 3939	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Catccat 17587  Hom_f chomf 17589  comp_fccomf 17590   ↾_cat cresc 17732  Subcatcsubc 17733   Func cfunc 17778  SetCatcsetc 17999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-homf 17593  df-comf 17594  df-ssc 17734  df-resc 17735  df-subc 17736  df-func 17782  df-setc 18000

This theorem is referenced by:  yonedalem1  18195