Theorem funcsetcres2 18062

Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
resssetc.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcres2	⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘𝐸) = (Homf ‘𝐸))
2		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘𝐸) = (compf‘𝐸))
3		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
5		resssetc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
6		resssetc.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
7	6	setccat 18054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ Cat)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10		resssetc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 5	setcbas 18047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	sseqtrd 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑉) = (𝐶 ↾s 𝑉)
15		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
16	3, 4, 9, 13, 14, 15	fullresc 17820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
17	16	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18		resssetc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
19	6, 18, 5, 10	resssetc 18061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
21	20	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷))
22	17, 21	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf ‘𝐷))
23	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
24	20	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷))
25	23, 24	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf‘𝐷))
26		funcrcl 17832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
28	27	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
29	3, 4, 9, 13	fullsubc 17819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
30	15, 29	subccat 17817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
31	27	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31	funcpropd 17871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33		funcres2 17867	. . . . . 6 ⊢ (((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
34	29, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
35	32, 34	eqsstrrd 3985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
37	35, 36	sseldd 3950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
38	37	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
39	38	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  Catccat 17632  Hom_f chomf 17634  comp_fccomf 17635   ↾_cat cresc 17777  Subcatcsubc 17778   Func cfunc 17823  SetCatcsetc 18044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-homf 17638  df-comf 17639  df-ssc 17779  df-resc 17780  df-subc 17781  df-func 17827  df-setc 18045

This theorem is referenced by:  yonedalem1  18240