Theorem funcsetcres2 18147

Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
resssetc.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcres2	⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘𝐸) = (Homf ‘𝐸))
2		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘𝐸) = (compf‘𝐸))
3		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
5		resssetc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
6		resssetc.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
7	6	setccat 18139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ Cat)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10		resssetc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 5	setcbas 18132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	sseqtrd 4036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑉) = (𝐶 ↾s 𝑉)
15		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
16	3, 4, 9, 13, 14, 15	fullresc 17902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
17	16	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18		resssetc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
19	6, 18, 5, 10	resssetc 18146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
21	20	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷))
22	17, 21	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf ‘𝐷))
23	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
24	20	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷))
25	23, 24	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf‘𝐷))
26		funcrcl 17914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
28	27	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
29	3, 4, 9, 13	fullsubc 17901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
30	15, 29	subccat 17899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
31	27	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31	funcpropd 17954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33		funcres2 17949	. . . . . 6 ⊢ (((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
34	29, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
35	32, 34	eqsstrrd 4035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
37	35, 36	sseldd 3996	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
38	37	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
39	38	ssrdv 4001	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Catccat 17709  Hom_f chomf 17711  comp_fccomf 17712   ↾_cat cresc 17856  Subcatcsubc 17857   Func cfunc 17905  SetCatcsetc 18129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17713  df-cid 17714  df-homf 17715  df-comf 17716  df-ssc 17858  df-resc 17859  df-subc 17860  df-func 17909  df-setc 18130

This theorem is referenced by:  yonedalem1  18329