Theorem funcsetcres2 17353

Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
resssetc.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcres2	⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘𝐸) = (Homf ‘𝐸))
2		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘𝐸) = (compf‘𝐸))
3		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
5		resssetc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
6		resssetc.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
7	6	setccat 17345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ Cat)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10		resssetc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 5	setcbas 17338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	sseqtrd 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
13	12	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑉) = (𝐶 ↾s 𝑉)
15		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
16	3, 4, 9, 13, 14, 15	fullresc 17121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
17	16	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18		resssetc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
19	6, 18, 5, 10	resssetc 17352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
20	19	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷)))
21	20	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (Homf ‘𝐷))
22	17, 21	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf ‘𝐷))
23	16	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
24	20	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾s 𝑉)) = (compf‘𝐷))
25	23, 24	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf‘𝐷))
26		funcrcl 17133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
28	27	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
29	3, 4, 9, 13	fullsubc 17120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
30	15, 29	subccat 17118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
31	27	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31	funcpropd 17170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33		funcres2 17168	. . . . . 6 ⊢ (((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
34	29, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
35	32, 34	eqsstrrd 4006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
37	35, 36	sseldd 3968	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
38	37	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
39	38	ssrdv 3973	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   × cxp 5553   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  Catccat 16935  Hom_f chomf 16937  comp_fccomf 16938   ↾_cat cresc 17078  Subcatcsubc 17079   Func cfunc 17124  SetCatcsetc 17335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-hom 16589  df-cco 16590  df-cat 16939  df-cid 16940  df-homf 16941  df-comf 16942  df-ssc 17080  df-resc 17081  df-subc 17082  df-func 17128  df-setc 17336

This theorem is referenced by:  yonedalem1  17522