Theorem resscat 17845

Description: A category restricted to a smaller set of objects is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
resscat	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

Proof of Theorem resscat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2	1	ressinbas 17233	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
3	2	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
6		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ Cat)
7		inss2 4232	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
9	1, 5, 6, 8	fullsubc 17843	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) ∈ (Subcat‘𝐶))
10	4, 9	subccat 17841	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat)
11		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
12	1, 5, 6, 8, 11, 4	fullresc 17844	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))))))
13	12	simpld 493	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
14	12	simprd 494	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
15		ovexd 7461	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V)
16	13, 14, 15, 10	catpropd 17696	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat ↔ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat))
17	10, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat)
18	3, 17	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   × cxp 5680   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  Catccat 17651  Hom_f chomf 17653  comp_fccomf 17654   ↾_cat cresc 17798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-hom 17264  df-cco 17265  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-comf 17658  df-ssc 17800  df-resc 17801  df-subc 17802

This theorem is referenced by:  ressffth  17934