Theorem resscat 17808

Description: A category restricted to a smaller set of objects is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
resscat	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

Proof of Theorem resscat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2	1	ressinbas 17196	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
6		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ Cat)
7		inss2 4224	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
9	1, 5, 6, 8	fullsubc 17806	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) ∈ (Subcat‘𝐶))
10	4, 9	subccat 17804	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat)
11		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
12	1, 5, 6, 8, 11, 4	fullresc 17807	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))))))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
14	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
15		ovexd 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V)
16	13, 14, 15, 10	catpropd 17659	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat ↔ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat))
17	10, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat)
18	3, 17	eqeltrd 2827	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943   × cxp 5667   ↾ cres 5671  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  Catccat 17614  Hom_f chomf 17616  comp_fccomf 17617   ↾_cat cresc 17761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-hom 17227  df-cco 17228  df-cat 17618  df-cid 17619  df-homf 17620  df-comf 17621  df-ssc 17763  df-resc 17764  df-subc 17765

This theorem is referenced by:  ressffth  17897