MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscat 17577
Description: A category restricted to a smaller set of objects is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
resscat ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) ∈ Cat)

Proof of Theorem resscat
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21ressinbas 16965 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
32adantl 482 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
4 eqid 2738 . . . 4 (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) = (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))
5 eqid 2738 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
6 simpl 483 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → 𝐶 ∈ Cat)
7 inss2 4163 . . . . . 6 (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
91, 5, 6, 8fullsubc 17575 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) ∈ (Subcat‘𝐶))
104, 9subccat 17573 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat)
11 eqid 2738 . . . . . 6 (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
121, 5, 6, 8, 11, 4fullresc 17576 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((Homf ‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))) ∧ (compf‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))))))
1312simpld 495 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (Homf ‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
1412simprd 496 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (compf‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
15 ovexd 7302 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V)
1613, 14, 15, 10catpropd 17428 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat ↔ (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat))
1710, 16mpbird 256 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat)
183, 17eqeltrd 2839 1 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3429  cin 3885  wss 3886   × cxp 5582  cres 5586  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  s cress 16951  Catccat 17383  Homf chomf 17385  compfccomf 17386  cat cresc 17530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-hom 16996  df-cco 16997  df-cat 17387  df-cid 17388  df-homf 17389  df-comf 17390  df-ssc 17532  df-resc 17533  df-subc 17534
This theorem is referenced by:  ressffth  17664
  Copyright terms: Public domain W3C validator