Theorem resscat 18032

Description: A category restricted to a smaller set of objects is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
resscat	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

Proof of Theorem resscat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2	1	ressinbas 17428	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) = (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
6		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ Cat)
7		inss2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
9	1, 5, 6, 8	fullsubc 18030	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) ∈ (Subcat‘𝐶))
10	4, 9	subccat 18028	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
12	1, 5, 6, 8, 11, 4	fullresc 18031	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))) ∧ (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))))))
13	12	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (Homf ‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
14	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (compf‘(𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
15		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V)
16	13, 14, 15, 10	catpropd 17888	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat ↔ (𝐶 ↾cat ((Homf ‘𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat))
17	10, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat)
18	3, 17	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  Catccat 17843  Hom_f chomf 17845  comp_fccomf 17846   ↾_cat cresc 17988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-homf 17849  df-comf 17850  df-ssc 17990  df-resc 17991  df-subc 17992

This theorem is used by:  ressffth  18120