Theorem fzmmmeqm 13588

Description: Subtracting the difference of a member of a finite range of integers and the lower bound of the range from the difference of the upper bound and the lower bound of the range results in the difference of the upper bound of the range and the member. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzmmmeqm	⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))

Proof of Theorem fzmmmeqm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13545	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2		zcn 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4		zcn 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
6	5	3comr 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
8	1, 7	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
9		nnncan2 11547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℂcc 11156   ≤ cle 11299   − cmin 11494  ℤcz 12610  ...cfz 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-z 12611  df-fz 13539

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  14737