Theorem fznn0sub 13644

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13608	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		uznn0sub 12955	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   − cmin 11498  ℕ₀cn0 12561  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595

This theorem is used by:  fznn0sub2  13723  bcrpcl  14405  bcm1k  14412  bcp1n  14413  bcval5  14415  bcpasc  14418  permnn  14423  swrdlen  14748  swrdwrdsymb  14765  pfxswrd  14808  lenrevpfxcctswrd  14814  binomlem  15951  binom1p  15953  pwdif  15990  mertenslem1  16006  mertens  16008  binomfallfaclem1  16158  binomfallfaclem2  16159  fallfacval4  16162  bcfallfac  16163  bpolycl  16171  bpolysum  16172  bpolydiflem  16173  efaddlem  16212  pcbc  17025  srgbinomlem3  20401  srgbinomlem4  20402  srgbinomlem  20403  freshmansdream  21827  coe1mul2  22535  coe1tmmul2  22542  coe1tmmul  22543  cply1mul  22561  lply1binomsc  22576  decpmatmul  23037  pm2mpmhmlem2  23084  chpscmatgsumbin  23109  chpscmatgsummon  23110  coe1mul3  26364  plymullem1  26480  plymullem  26482  coemullem  26516  coemulhi  26520  coemulc  26521  plyn0mulidp  26551  vieta1lem2  26583  aareccl  26602  aalioulem1  26608  dvntaylp  26647  dvntaylp0  26648  birthdaylem2  27229  basellem3  27359  cycpmco2lem5  33610  vietalem  34130  jm2.22  43934  jm2.23  43935  dvnmul  46869  ply1mulgsumlem2  49415  ply1mulgsum  49418