Theorem fznn0sub 13495

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13460	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		uznn0sub 12810	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   − cmin 11383  ℕ₀cn0 12420  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  fznn0sub2  13574  bcrpcl  14251  bcm1k  14258  bcp1n  14259  bcval5  14261  bcpasc  14264  permnn  14269  swrdlen  14590  swrdwrdsymb  14605  pfxswrd  14648  lenrevpfxcctswrd  14654  binomlem  15772  binom1p  15774  pwdif  15811  mertenslem1  15827  mertens  15829  binomfallfaclem1  15982  binomfallfaclem2  15983  fallfacval4  15986  bcfallfac  15987  bpolycl  15995  bpolysum  15996  bpolydiflem  15997  efaddlem  16036  pcbc  16848  srgbinomlem3  20149  srgbinomlem4  20150  srgbinomlem  20151  freshmansdream  21517  coe1mul2  22189  coe1tmmul2  22196  coe1tmmul  22197  cply1mul  22217  lply1binomsc  22232  decpmatmul  22693  pm2mpmhmlem2  22740  chpscmatgsumbin  22765  chpscmatgsummon  22766  coe1mul3  26038  plymullem1  26153  plymullem  26155  coemullem  26189  coemulhi  26193  coemulc  26194  vieta1lem2  26253  aareccl  26268  aalioulem1  26274  dvntaylp  26313  dvntaylp0  26314  birthdaylem2  26896  basellem3  27027  cycpmco2lem5  33103  plymulx0  34532  jm2.22  42978  jm2.23  42979  dvnmul  45935  ply1mulgsumlem2  48370  ply1mulgsum  48373