Theorem reofld 33337

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	⊢ ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21660	. 2 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20762	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4		drngring 20758	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
6		ringgrp 20265	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Grp
8		grpmnd 18980	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Mnd
10		retos 21659	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Toset
11		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13		simpr2 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14		simpr3 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16	15	3anassrs 1360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18	17	3impa 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
19	18	rgen3 3210	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20		rebase 21647	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21		replusg 21651	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
22		rele2 21655	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝfld)
23	20, 21, 22	isomnd 33051	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
25		isogrp 33052	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
26	7, 24, 25	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oGrp
27		mulge0 11808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
28	27	an4s 659	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
30	29	rgen2 3205	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31		re0g 21653	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
32		remulr 21652	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
33	20, 31, 32, 22	isorng 33294	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ ℝfld ∈ oRing
35		isofld 33297	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
36	1, 34, 35	mpbir2an 710	1 ⊢ ℝfld ∈ oField

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325  Tosetctos 18486  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  DivRingcdr 20751  Fieldcfield 20752  ℝ_fldcrefld 21645  oMndcomnd 33047  oGrpcogrp 33048  oRingcorng 33290  oFieldcofld 33291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-toset 18487  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-field 20754  df-cnfld 21388  df-refld 21646  df-omnd 33049  df-ogrp 33050  df-orng 33292  df-ofld 33293

This theorem is referenced by:  nn0omnd  33338  rearchi  33339  rerrext  33955  cnrrext  33956