Theorem reofld 33080

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	⊢ ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21558	. 2 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20642	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simplbi 496	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4		drngring 20638	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
6		ringgrp 20185	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Grp
8		grpmnd 18904	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Mnd
10		retos 21557	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Toset
11		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		simpr1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13		simpr2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14		simpr3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16	15	3anassrs 1357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
17	16	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18	17	3impa 1107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
19	18	rgen3 3200	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20		rebase 21545	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21		replusg 21549	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
22		rele2 21553	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝfld)
23	20, 21, 22	isomnd 32802	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
25		isogrp 32803	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
26	7, 24, 25	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oGrp
27		mulge0 11770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
28	27	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
29	28	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
30	29	rgen2 3195	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31		re0g 21551	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
32		remulr 21550	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
33	20, 31, 32, 22	isorng 33038	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ℝfld ∈ oRing
35		isofld 33041	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
36	1, 34, 35	mpbir2an 709	1 ⊢ ℝfld ∈ oField

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   · cmul 11151   ≤ cle 11287  Tosetctos 18415  Mndcmnd 18701  Grpcgrp 18897  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  ℝ_fldcrefld 21543  oMndcomnd 32798  oGrpcogrp 32799  oRingcorng 33034  oFieldcofld 33035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-toset 18416  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-omnd 32800  df-ogrp 32801  df-orng 33036  df-ofld 33037

This theorem is referenced by:  nn0omnd  33081  rearchi  33082  rerrext  33643  cnrrext  33644