Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 32183
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 21039 . 2 ℝfld ∈ Field
2 isfld 20208 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 499 . . . 4 (ℝfld ∈ Field β†’ ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 20204 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 ℝfld ∈ Ring
6 ringgrp 19974 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring β†’ ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ℝfld ∈ Grp
8 grpmnd 18760 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp β†’ ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ℝfld ∈ Mnd
10 retos 21038 . . . . 5 ℝfld ∈ Toset
11 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
12 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 11774 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1361 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 414 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1111 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 3196 . . . . 5 βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 21026 . . . . . 6 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
21 replusg 21030 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„fld)
22 rele2 21034 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜β„fld)
2320, 21, 22isomnd 31958 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1342 . . . 4 ℝfld ∈ oMnd
25 isogrp 31959 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 710 . . 3 ℝfld ∈ oGrp
27 mulge0 11678 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘Ž) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑏)) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
2827an4s 659 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏)) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
2928ex 414 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏)))
3029rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
31 re0g 21032 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„fld)
32 remulr 21031 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„fld)
3320, 31, 32, 22isorng 32141 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1342 . 2 ℝfld ∈ oRing
35 isofld 32144 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 710 1 ℝfld ∈ oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  DivRingcdr 20197  Fieldcfield 20198  β„fldcrefld 21024  oMndcomnd 31954  oGrpcogrp 31955  oRingcorng 32137  oFieldcofld 32138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-toset 18311  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-omnd 31956  df-ogrp 31957  df-orng 32139  df-ofld 32140
This theorem is referenced by:  nn0omnd  32184  rearchi  32185  rerrext  32647  cnrrext  32648
  Copyright terms: Public domain W3C validator