Theorem reofld 33300

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	⊢ ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21551	. 2 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20650	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4		drngring 20646	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
6		ringgrp 20151	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Grp
8		grpmnd 18848	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Mnd
10		retos 21550	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Toset
11		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14		simpr3 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 11726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16	15	3anassrs 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18	17	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
19	18	rgen3 3177	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20		rebase 21538	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21		replusg 21542	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
22		rele2 21546	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝfld)
23	20, 21, 22	isomnd 20030	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
25		isogrp 20031	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
26	7, 24, 25	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oGrp
27		mulge0 11630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
28	27	an4s 660	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
30	29	rgen2 3172	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31		re0g 21544	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
32		remulr 21543	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
33	20, 31, 32, 22	isorng 20771	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ℝfld ∈ oRing
35		isofld 20774	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
36	1, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ ℝfld ∈ oField

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   · cmul 11006   ≤ cle 11142  Tosetctos 18315  Mndcmnd 18637  Grpcgrp 18841  oMndcomnd 20026  oGrpcogrp 20027  Ringcrg 20146  CRingccrg 20147  DivRingcdr 20639  Fieldcfield 20640  oRingcorng 20767  oFieldcofld 20768  ℝ_fldcrefld 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-toset 18316  df-ps 18467  df-tsr 18468  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-omnd 20028  df-ogrp 20029  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-field 20642  df-orng 20769  df-ofld 20770  df-cnfld 21287  df-refld 21537

This theorem is referenced by:  nn0omnd  33301  rearchi  33303  rerrext  34014  cnrrext  34015