Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 32962
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 21508 . 2 ℝfld ∈ Field
2 isfld 20596 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 497 . . . 4 (ℝfld ∈ Field β†’ ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 20592 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 ℝfld ∈ Ring
6 ringgrp 20141 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring β†’ ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ℝfld ∈ Grp
8 grpmnd 18868 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp β†’ ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ℝfld ∈ Mnd
10 retos 21507 . . . . 5 ℝfld ∈ Toset
11 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
12 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 11829 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1357 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 412 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1107 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 3196 . . . . 5 βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 21495 . . . . . 6 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
21 replusg 21499 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„fld)
22 rele2 21503 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜β„fld)
2320, 21, 22isomnd 32723 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (π‘Ž + 𝑐) ≀ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1338 . . . 4 ℝfld ∈ oMnd
25 isogrp 32724 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 708 . . 3 ℝfld ∈ oGrp
27 mulge0 11733 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘Ž) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑏)) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
2827an4s 657 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏)) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
2928ex 412 . . . 4 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏)))
3029rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))
31 re0g 21501 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„fld)
32 remulr 21500 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„fld)
3320, 31, 32, 22isorng 32920 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ ℝ ((0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ (π‘Ž Β· 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1338 . 2 ℝfld ∈ oRing
35 isofld 32923 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 708 1 ℝfld ∈ oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250  Tosetctos 18379  Mndcmnd 18665  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  DivRingcdr 20585  Fieldcfield 20586  β„fldcrefld 21493  oMndcomnd 32719  oGrpcogrp 32720  oRingcorng 32916  oFieldcofld 32917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-toset 18380  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-field 20588  df-cnfld 21237  df-refld 21494  df-omnd 32721  df-ogrp 32722  df-orng 32918  df-ofld 32919
This theorem is referenced by:  nn0omnd  32963  rearchi  32964  rerrext  33519  cnrrext  33520
  Copyright terms: Public domain W3C validator