Theorem reofld 33074

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	⊢ ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21556	. 2 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20640	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simplbi 496	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4		drngring 20636	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
6		ringgrp 20183	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Grp
8		grpmnd 18902	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Mnd
10		retos 21555	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Toset
11		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		simpr1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13		simpr2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14		simpr3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 11864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16	15	3anassrs 1357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
17	16	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18	17	3impa 1107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
19	18	rgen3 3198	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20		rebase 21543	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21		replusg 21547	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
22		rele2 21551	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝfld)
23	20, 21, 22	isomnd 32799	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
25		isogrp 32800	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
26	7, 24, 25	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oGrp
27		mulge0 11768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
28	27	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
29	28	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
30	29	rgen2 3193	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31		re0g 21549	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
32		remulr 21548	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
33	20, 31, 32, 22	isorng 33032	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ℝfld ∈ oRing
35		isofld 33035	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
36	1, 34, 35	mpbir2an 709	1 ⊢ ℝfld ∈ oField

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  ℝcr 11143  0cc0 11144   + caddc 11147   · cmul 11149   ≤ cle 11285  Tosetctos 18413  Mndcmnd 18699  Grpcgrp 18895  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179  DivRingcdr 20629  Fieldcfield 20630  ℝ_fldcrefld 21541  oMndcomnd 32795  oGrpcogrp 32796  oRingcorng 33028  oFieldcofld 33029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-toset 18414  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-field 20632  df-cnfld 21285  df-refld 21542  df-omnd 32797  df-ogrp 32798  df-orng 33030  df-ofld 33031

This theorem is referenced by:  nn0omnd  33075  rearchi  33076  rerrext  33615  cnrrext  33616