Theorem reofld 31116

Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reofld	⊢ ℝfld ∈ oField

Proof of Theorem reofld

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 20435	. 2 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 19630	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simplbi 501	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4		drngring 19628	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
6		ringgrp 19421	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Grp
8		grpmnd 18226	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Mnd
10		retos 20434	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Toset
11		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14		simpr3 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → 𝑎 ≤ 𝑏)
15	11, 12, 13, 14	leadd1dd 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16	15	3anassrs 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
17	16	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18	17	3impa 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
19	18	rgen3 3116	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20		rebase 20422	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21		replusg 20426	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
22		rele2 20430	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝfld)
23	20, 21, 22	isomnd 30904	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
24	9, 10, 19, 23	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
25		isogrp 30905	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
26	7, 24, 25	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oGrp
27		mulge0 11236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
28	27	an4s 660	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
29	28	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
30	29	rgen2 3115	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31		re0g 20428	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
32		remulr 20427	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
33	20, 31, 32, 22	isorng 31075	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
34	5, 26, 30, 33	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ℝfld ∈ oRing
35		isofld 31078	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
36	1, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ ℝfld ∈ oField

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  ℝcr 10614  0cc0 10615   + caddc 10618   · cmul 10620   ≤ cle 10754  Tosetctos 17759  Mndcmnd 18027  Grpcgrp 18219  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  DivRingcdr 19621  Fieldcfield 19622  ℝ_fldcrefld 20420  oMndcomnd 30900  oGrpcogrp 30901  oRingcorng 31071  oFieldcofld 31072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-toset 17760  df-ps 17926  df-tsr 17927  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-field 19624  df-subrg 19652  df-cnfld 20218  df-refld 20421  df-omnd 30902  df-ogrp 30903  df-orng 31073  df-ofld 31074

This theorem is referenced by:  nn0omnd  31117  rearchi  31118  rerrext  31529  cnrrext  31530