Theorem frlm0 21797

Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 21794). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlm0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem frlm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
3	2	pwslmod 20991	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
5		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
8	5, 6, 7	frlmlss 21794	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
9	7	lsssubg 20978	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
10	4, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
13	11, 12	subg0 19172	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
15		lmodgrp 20887	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
16		grpmnd 18980	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
17	1, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
18		frlm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		rlm0 21225	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
20	18, 19	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
21	2, 20	pws0g 18808	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
22	17, 21	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
23	5, 6	frlmpws 21793	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
24	23	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝐹) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
25	14, 22, 24	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  0_gc0g 17499   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  ringLModcrglmod 21194   freeLMod cfrlm 21789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790

This theorem is referenced by:  frlmsslss  21817  islindf5  21882  mat0op  22446  rrxcph  25445  rrx0  25450  matunitlindflem1  37576  frlm0vald  42494  mnring0g2d  44189  zlmodzxz0  48081  aacllem  48895