MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlm0 21792
Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 21789). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlm0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝐹))

Proof of Theorem frlm0
StepHypRef Expression
1 rlmlmod 21228 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2 eqid 2735 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
32pwslmod 20986 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 580 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
5 frlmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
7 eqid 2735 . . . . 5 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
85, 6, 7frlmlss 21789 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
97lsssubg 20973 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
104, 8, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
11 eqid 2735 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
12 eqid 2735 . . . 4 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
1311, 12subg0 19163 . . 3 ((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
1410, 13syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
15 lmodgrp 20882 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
16 grpmnd 18971 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
171, 15, 163syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
18 frlm0.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
19 rlm0 21220 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
2018, 19eqtri 2763 . . . 4 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
212, 20pws0g 18799 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2217, 21sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
235, 6frlmpws 21788 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
2423fveq2d 6911 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (0g𝐹) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
2514, 22, 243eqtr4d 2785 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  s cpws 17493  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  ringLModcrglmod 21189   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  frlmsslss  21812  islindf5  21877  mat0op  22441  rrxcph  25440  rrx0  25445  matunitlindflem1  37603  frlm0vald  42526  mnring0g2d  44216  zlmodzxz0  48201  aacllem  49032
  Copyright terms: Public domain W3C validator