Theorem frlm0 21744

Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 21741). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlm0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem frlm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
3	2	pwslmod 20956	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
5		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
8	5, 6, 7	frlmlss 21741	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
9	7	lsssubg 20943	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
10	4, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
13	11, 12	subg0 19099	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
15		lmodgrp 20853	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
16		grpmnd 18907	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
17	1, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
18		frlm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		rlm0 21182	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
20	18, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
21	2, 20	pws0g 18732	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
22	17, 21	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
23	5, 6	frlmpws 21740	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
24	23	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝐹) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
25	14, 22, 24	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393   ↑_s cpws 17400  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  Ringcrg 20205  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  ringLModcrglmod 21159   freeLMod cfrlm 21736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737

This theorem is referenced by:  frlmsslss  21764  islindf5  21829  mat0op  22394  rrxcph  25369  rrx0  25374  matunitlindflem1  37951  frlm0vald  42998  mnring0g2d  44667  zlmodzxz0  48844  aacllem  50288