Theorem frlm0 21700

Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 21697). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlm0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem frlm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21146	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
3	2	pwslmod 20912	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
5		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
8	5, 6, 7	frlmlss 21697	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
9	7	lsssubg 20899	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
13	11, 12	subg0 19053	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
15		lmodgrp 20809	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
16		grpmnd 18861	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
17	1, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
18		frlm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		rlm0 21138	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
20	18, 19	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
21	2, 20	pws0g 18689	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
22	17, 21	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
23	5, 6	frlmpws 21696	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
24	23	fveq2d 6835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝐹) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
25	14, 22, 24	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  0_gc0g 17350   ↑_s cpws 17357  Mndcmnd 18650  Grpcgrp 18854  SubGrpcsubg 19041  Ringcrg 20159  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  ringLModcrglmod 21115   freeLMod cfrlm 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-dsmm 21678  df-frlm 21693

This theorem is referenced by:  frlmsslss  21720  islindf5  21785  mat0op  22354  rrxcph  25339  rrx0  25344  matunitlindflem1  37729  frlm0vald  42709  mnring0g2d  44379  zlmodzxz0  48518  aacllem  49962