Theorem pwsdiagghm 19370

Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagghm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagghm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagghm	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19063	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagghm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3		pwsdiagghm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		pwsdiagghm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
5	2, 3, 4	pwsdiagmhm 18939	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))
6	1, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))
7	2	pwsgrp 19174	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Grp)
8		ghmmhmb 19353	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑅 GrpHom 𝑌) = (𝑅 MndHom 𝑌))
9	7, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 GrpHom 𝑌) = (𝑅 MndHom 𝑌))
10	6, 9	eleqtrrd 2865	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303   ↑_s cpws 17533  Mndcmnd 18836   MndHom cmhm 18888  Grpcgrp 19056   GrpHom cghm 19339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-ghm 19340

This theorem is used by:  pwsdiagrhm  20768  pwsdiaglmhm  21240