Theorem cntrabl 19444

Description: The center of a group is an abelian group. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrabl	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Abel)

Proof of Theorem cntrabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 18925	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
4		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
5	1, 2	cntzsubg 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
6	4, 5	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
7	3, 6	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
9	8	subggrp 18758	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑍 ∈ Grp)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Grp)
11		grpmnd 18584	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
12	8	cntrcmnd 19443	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ CMnd)
14		isabl 19390	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Abel ↔ (𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ CMnd))
15	10, 13, 14	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Mndcmnd 18385  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921  Cntrccntr 18922  CMndccmn 19386  Abelcabl 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cntr 18924  df-cmn 19388  df-abl 19389

This theorem is referenced by:  simpcntrab  44386