Theorem cntrabl 18959

Description: The center of a group is an abelian group. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrabl	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Abel)

Proof of Theorem cntrabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 18445	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
4		ssid 3986	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
5	1, 2	cntzsubg 18463	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
6	4, 5	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
7	3, 6	eqeltrrid 2917	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
9	8	subggrp 18278	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑍 ∈ Grp)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Grp)
11		grpmnd 18106	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
12	8	cntrcmnd 18958	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ CMnd)
14		isabl 18906	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Abel ↔ (𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ CMnd))
15	10, 13, 14	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3933  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  Basecbs 16479   ↾_s cress 16480  Mndcmnd 17907  Grpcgrp 18099  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441  Cntrccntr 18442  CMndccmn 18902  Abelcabl 18903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-cntr 18444  df-cmn 18904  df-abl 18905

This theorem is referenced by:  simpcntrab  43201