Theorem psgnuni 19432

Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnuni.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
psgnuni	⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnuni.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
2		lencl 14460	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		m1expcl 14013	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12601	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8		psgnuni.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9		lencl 14460	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12		m1expcl 14013	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12601	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		neg1cn 12134	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		neg1ne0 12136	. . 3 ⊢ -1 ≠ 0
17		expne0i 14021	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
18	15, 16, 11, 17	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19		m1expaddsub 19431	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
20	4, 11, 19	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21		expsub 14037	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
22	15, 16, 21	mpanl12 703	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
23	4, 11, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24		revcl 14688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26		ccatlen 14502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
27	1, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28		revlen 14689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
30	29	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
31	27, 30	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
32	31	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33		psgnuni.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34		psgnuni.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35		psgnuni.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
36		ccatcl 14501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
37	1, 25, 36	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38		psgnuni.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
39	38	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	34, 33, 40	symgtrinv 19405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
42	35, 8, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
43	39, 42	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
45	33	symggrp 19333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
46	35, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
47		grpmnd 18874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
48	35, 45, 47	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
50	34, 33, 49	symgtrf 19402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51		sswrd 14449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
53	52, 1	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
54	49	gsumwcl 18768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
55	48, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
58	49, 56, 57, 40	grprinv 18924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
59	46, 55, 58	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
60	44, 59	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
61	52, 25	sselid 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
62	49, 56	gsumccat 18770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
63	48, 53, 61, 62	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
64	33	symgid 19334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
65	35, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
66	60, 63, 65	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
67	33, 34, 35, 37, 66	psgnunilem4 19430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
68	32, 67	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
69	20, 23, 68	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
70	7, 14, 18, 69	diveq1d 11929	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3902   I cid 5519  ran crn 5626   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ↑cexp 13988  ♯chash 14257  Word cword 14440   ++ cconcat 14497  reversecreverse 14685  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  Grpcgrp 18867  inv_gcminusg 18868  SymGrpcsymg 19302  pmTrspcpmtr 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-splice 14677  df-reverse 14686  df-s2 14775  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-tset 17200  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-efmnd 18798  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-oppg 19279  df-symg 19303  df-pmtr 19375

This theorem is referenced by:  psgneu  19439  psgndiflemA  21560