Theorem psgnuni 19532

Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnuni.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
psgnuni	⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnuni.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
2		lencl 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		m1expcl 14124	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12721	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8		psgnuni.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9		lencl 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12		m1expcl 14124	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12721	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		neg1cn 12378	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		neg1ne0 12380	. . 3 ⊢ -1 ≠ 0
17		expne0i 14132	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
18	15, 16, 11, 17	mp3an12i 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19		m1expaddsub 19531	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
20	4, 11, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21		expsub 14148	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
22	15, 16, 21	mpanl12 702	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
23	4, 11, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24		revcl 14796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26		ccatlen 14610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
27	1, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28		revlen 14797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
30	29	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
31	27, 30	eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
32	31	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33		psgnuni.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34		psgnuni.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35		psgnuni.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
36		ccatcl 14609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
37	1, 25, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38		psgnuni.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
39	38	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	34, 33, 40	symgtrinv 19505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
42	35, 8, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
43	39, 42	eqtr2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
44	43	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
45	33	symggrp 19433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
46	35, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
47		grpmnd 18971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
48	35, 45, 47	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
50	34, 33, 49	symgtrf 19502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51		sswrd 14557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
53	52, 1	sselid 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
54	49	gsumwcl 18865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
55	48, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
57		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
58	49, 56, 57, 40	grprinv 19021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
59	46, 55, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
60	44, 59	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
61	52, 25	sselid 3993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
62	49, 56	gsumccat 18867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
63	48, 53, 61, 62	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
64	33	symgid 19434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
65	35, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
66	60, 63, 65	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
67	33, 34, 35, 37, 66	psgnunilem4 19530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
68	32, 67	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
69	20, 23, 68	3eqtr3d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
70	7, 14, 18, 69	diveq1d 12049	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963   I cid 5582  ran crn 5690   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ↑cexp 14099  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  reversecreverse 14793  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475

This theorem is referenced by:  psgneu  19539  psgndiflemA  21637