MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 19461
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π·)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
psgnuni.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) = (-1↑(β™―β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝑇)
2 lencl 14523 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0zd 12622 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
5 m1expcl 14091 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„€)
76zcnd 12705 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 14523 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
1110nn0zd 12622 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€)
12 m1expcl 14091 . . . 4 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„€)
1413zcnd 12705 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
15 neg1cn 12364 . . 3 -1 ∈ β„‚
16 neg1ne0 12366 . . 3 -1 β‰  0
17 expne0i 14099 . . 3 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) β‰  0)
1815, 16, 11, 17mp3an12i 1461 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) β‰  0)
19 m1expaddsub 19460 . . . 4 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))))
204, 11, 19syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))))
21 expsub 14115 . . . . 5 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€)) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
2215, 16, 21mpanl12 700 . . . 4 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
234, 11, 22syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
24 revcl 14751 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇)
258, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇)
26 ccatlen 14565 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑇 ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))))
271, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))))
28 revlen 14752 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹)) = (β™―β€˜π‘‹))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹)) = (β™―β€˜π‘‹))
3029oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹)))
3127, 30eqtr2d 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹)) = (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))))
3231oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑(β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)))))
33 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrpβ€˜π·)
34 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
35 psgnuni.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
36 ccatcl 14564 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑇 ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇) β†’ (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)) ∈ Word 𝑇)
371, 25, 36syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)) ∈ Word 𝑇)
38 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g 𝑋))
3938fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š)) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)))
40 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
4134, 33, 40symgtrinv 19434 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)))
4235, 8, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)))
4339, 42eqtr2d 2769 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š)))
4443oveq2d 7442 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))))
4533symggrp 19362 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4635, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
47 grpmnd 18904 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
4835, 45, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
49 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
5034, 33, 49symgtrf 19431 . . . . . . . . . . 11 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
51 sswrd 14512 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) β†’ Word 𝑇 βŠ† Word (Baseβ€˜πΊ))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 βŠ† Word (Baseβ€˜πΊ)
5352, 1sselid 3980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ))
5449gsumwcl 18798 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5548, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
56 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
57 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5849, 56, 57, 40grprinv 18954 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))) = (0gβ€˜πΊ))
5946, 55, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))) = (0gβ€˜πΊ))
6044, 59eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))) = (0gβ€˜πΊ))
6152, 25sselid 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word (Baseβ€˜πΊ))
6249, 56gsumccat 18800 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ) ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))))
6348, 53, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))))
6433symgid 19363 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜πΊ))
6535, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜πΊ))
6660, 63, 653eqtr4d 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ 𝐷))
6733, 34, 35, 37, 66psgnunilem4 19459 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)))) = 1)
6832, 67eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))) = 1)
6920, 23, 683eqtr3d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))) = 1)
707, 14, 18, 69diveq1d 12036 1 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) = (-1↑(β™―β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3949   I cid 5579  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β†‘cexp 14066  β™―chash 14329  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  reversecreverse 14748  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  SymGrpcsymg 19328  pmTrspcpmtr 19403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404
This theorem is referenced by:  psgneu  19468  psgndiflemA  21540
  Copyright terms: Public domain W3C validator