MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 19416
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π·)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
psgnuni.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) = (-1↑(β™―β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝑇)
2 lencl 14486 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0zd 12585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
5 m1expcl 14054 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„€)
76zcnd 12668 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 14486 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
1110nn0zd 12585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€)
12 m1expcl 14054 . . . 4 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„€)
1413zcnd 12668 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
15 neg1cn 12327 . . 3 -1 ∈ β„‚
16 neg1ne0 12329 . . 3 -1 β‰  0
17 expne0i 14062 . . 3 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) β‰  0)
1815, 16, 11, 17mp3an12i 1461 . 2 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘‹)) β‰  0)
19 m1expaddsub 19415 . . . 4 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))))
204, 11, 19syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))))
21 expsub 14078 . . . . 5 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€)) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
2215, 16, 21mpanl12 699 . . . 4 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„€) β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
234, 11, 22syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ (β™―β€˜π‘‹))) = ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))))
24 revcl 14714 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇)
258, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇)
26 ccatlen 14528 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑇 ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))))
271, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))))
28 revlen 14715 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹)) = (β™―β€˜π‘‹))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹)) = (β™―β€˜π‘‹))
3029oveq2d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘‹))) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹)))
3127, 30eqtr2d 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹)) = (β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))))
3231oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))) = (-1↑(β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)))))
33 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrpβ€˜π·)
34 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrspβ€˜π·)
35 psgnuni.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
36 ccatcl 14527 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑇 ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word 𝑇) β†’ (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)) ∈ Word 𝑇)
371, 25, 36syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)) ∈ Word 𝑇)
38 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g 𝑋))
3938fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š)) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)))
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
4134, 33, 40symgtrinv 19389 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)))
4235, 8, 41syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)))
4339, 42eqtr2d 2767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š)))
4443oveq2d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))))
4533symggrp 19317 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4635, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
47 grpmnd 18867 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
4835, 45, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
5034, 33, 49symgtrf 19386 . . . . . . . . . . 11 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
51 sswrd 14475 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) β†’ Word 𝑇 βŠ† Word (Baseβ€˜πΊ))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 βŠ† Word (Baseβ€˜πΊ)
5352, 1sselid 3975 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ))
5449gsumwcl 18761 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5548, 53, 54syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
56 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
57 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5849, 56, 57, 40grprinv 18917 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))) = (0gβ€˜πΊ))
5946, 55, 58syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 Ξ£g π‘Š))) = (0gβ€˜πΊ))
6044, 59eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))) = (0gβ€˜πΊ))
6152, 25sselid 3975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word (Baseβ€˜πΊ))
6249, 56gsumccat 18763 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘Š ∈ Word (Baseβ€˜πΊ) ∧ (reverseβ€˜π‘‹) ∈ Word (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))))
6348, 53, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ((𝐺 Ξ£g π‘Š)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (reverseβ€˜π‘‹))))
6433symgid 19318 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜πΊ))
6535, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜πΊ))
6660, 63, 653eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ 𝐷))
6733, 34, 35, 37, 66psgnunilem4 19414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜(π‘Š ++ (reverseβ€˜π‘‹)))) = 1)
6832, 67eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (-1↑((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜π‘‹))) = 1)
6920, 23, 683eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((-1↑(β™―β€˜π‘Š)) / (-1↑(β™―β€˜π‘‹))) = 1)
707, 14, 18, 69diveq1d 11999 1 (πœ‘ β†’ (-1↑(β™―β€˜π‘Š)) = (-1↑(β™―β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943   I cid 5566  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β†‘cexp 14029  β™―chash 14292  Word cword 14467   ++ cconcat 14523  reversecreverse 14711  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  Grpcgrp 18860  invgcminusg 18861  SymGrpcsymg 19283  pmTrspcpmtr 19358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14802  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-tset 17222  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18791  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-oppg 19259  df-symg 19284  df-pmtr 19359
This theorem is referenced by:  psgneu  19423  psgndiflemA  21489
  Copyright terms: Public domain W3C validator