Theorem psgnuni 18303

Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnuni.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
psgnuni	⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnuni.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
2		lencl 13621	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 11832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		m1expcl 13201	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 11835	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8		psgnuni.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9		lencl 13621	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 11832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12		m1expcl 13201	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 11835	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		neg1cn 11496	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		neg1ne0 11498	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
17		expne0i 13210	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
18	15, 16, 17	mp3an12 1524	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19	11, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
20		m1expaddsub 18302	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21	4, 11, 20	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
22		expsub 13226	. . . . . 6 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
23	15, 16, 22	mpanl12 692	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24	4, 11, 23	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
25	21, 24	eqtr3d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
26		revcl 13907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
27	8, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
28		ccatlen 13665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
29	1, 27, 28	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
30		revlen 13908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
32	31	oveq2d 6938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
33	29, 32	eqtrd 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
34	33	oveq2d 6938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
35		psgnuni.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
36		psgnuni.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
37		psgnuni.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		ccatcl 13664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
39	1, 27, 38	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
40		psgnuni.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
41	40	fveq2d 6450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
42		eqid 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
43	36, 35, 42	symgtrinv 18275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
44	37, 8, 43	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
45	41, 44	eqtr2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
46	45	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
47	35	symggrp 18203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
48	37, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
49		grpmnd 17816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
51		eqid 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
52	36, 35, 51	symgtrf 18272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
53		sswrd 13607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
55	54, 1	sseldi 3818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
56	51	gsumwcl 17763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
57	50, 55, 56	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
58		eqid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
59		eqid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
60	51, 58, 59, 42	grprinv 17856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
61	48, 57, 60	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
62	46, 61	eqtrd 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
63	54, 27	sseldi 3818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
64	51, 58	gsumccat 17764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
65	50, 55, 63, 64	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
66	35	symgid 18204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
67	37, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
68	62, 65, 67	3eqtr4d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
69	35, 36, 37, 39, 68	psgnunilem4 18301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
70	34, 69	eqtr3d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
71	25, 70	eqtr3d 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
72	7, 14, 19, 71	diveq1d 11159	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   ⊆ wss 3791   I cid 5260  ran crn 5356   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   − cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ↑cexp 13178  ♯chash 13435  Word cword 13599   ++ cconcat 13660  reversecreverse 13904  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  0_gc0g 16486   Σ_g cgsu 16487  Mndcmnd 17680  Grpcgrp 17809  inv_gcminusg 17810  SymGrpcsymg 18180  pmTrspcpmtr 18244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-tset 16357  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245

This theorem is referenced by:  psgneu  18310  psgndiflemA  20343