MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 19459
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnuni.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2 lencl 14521 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12620 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5 m1expcl 14089 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
76zcnd 12703 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 14521 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 12620 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12 m1expcl 14089 . . . 4 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1413zcnd 12703 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 neg1cn 12362 . . 3 -1 ∈ ℂ
16 neg1ne0 12364 . . 3 -1 ≠ 0
17 expne0i 14097 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
1815, 16, 11, 17mp3an12i 1461 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19 m1expaddsub 19458 . . . 4 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
204, 11, 19syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21 expsub 14113 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
2215, 16, 21mpanl12 700 . . . 4 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
234, 11, 22syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24 revcl 14749 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
258, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26 ccatlen 14563 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
271, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28 revlen 14750 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
3029oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
3127, 30eqtr2d 2768 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
3231oveq2d 7440 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35 psgnuni.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
36 ccatcl 14562 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
371, 25, 36syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
3938fveq2d 6904 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4134, 33, 40symgtrinv 19432 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4235, 8, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4339, 42eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
4443oveq2d 7440 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
4533symggrp 19360 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
4635, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
47 grpmnd 18902 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
4835, 45, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
49 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5034, 33, 49symgtrf 19429 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51 sswrd 14510 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
5352, 1sselid 3978 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
5449gsumwcl 18796 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
5548, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
57 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5849, 56, 57, 40grprinv 18952 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
5946, 55, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6044, 59eqtrd 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g𝐺))
6152, 25sselid 3978 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
6249, 56gsumccat 18798 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6348, 53, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6433symgid 19361 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6535, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6660, 63, 653eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
6733, 34, 35, 37, 66psgnunilem4 19457 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
6832, 67eqtrd 2767 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
6920, 23, 683eqtr3d 2775 . 2 (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
707, 14, 18, 69diveq1d 12034 1 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wss 3947   I cid 5577  ran crn 5681  cres 5682  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147  cmin 11480  -cneg 11481   / cdiv 11907  0cn0 12508  cz 12594  cexp 14064  chash 14327  Word cword 14502   ++ cconcat 14558  reversecreverse 14746  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  0gc0g 17426   Σg cgsu 17427  Mndcmnd 18699  Grpcgrp 18895  invgcminusg 18896  SymGrpcsymg 19326  pmTrspcpmtr 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-word 14503  df-lsw 14551  df-concat 14559  df-s1 14584  df-substr 14629  df-pfx 14659  df-splice 14738  df-reverse 14747  df-s2 14837  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-tset 17257  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18826  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-oppg 19302  df-symg 19327  df-pmtr 19402
This theorem is referenced by:  psgneu  19466  psgndiflemA  21538
  Copyright terms: Public domain W3C validator