MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 19518
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnuni.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2 lencl 14572 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12641 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5 m1expcl 14128 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
76zcnd 12725 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 14572 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 12641 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12 m1expcl 14128 . . . 4 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1413zcnd 12725 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 neg1cn 12381 . . 3 -1 ∈ ℂ
16 neg1ne0 12383 . . 3 -1 ≠ 0
17 expne0i 14136 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
1815, 16, 11, 17mp3an12i 1466 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19 m1expaddsub 19517 . . . 4 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
204, 11, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21 expsub 14152 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
2215, 16, 21mpanl12 702 . . . 4 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
234, 11, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24 revcl 14800 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
258, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26 ccatlen 14614 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
271, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28 revlen 14801 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
3029oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
3127, 30eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
3231oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35 psgnuni.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
36 ccatcl 14613 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
371, 25, 36syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
3938fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4134, 33, 40symgtrinv 19491 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4235, 8, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4339, 42eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
4443oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
4533symggrp 19419 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
4635, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
47 grpmnd 18959 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
4835, 45, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5034, 33, 49symgtrf 19488 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51 sswrd 14561 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
5352, 1sselid 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
5449gsumwcl 18853 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
5548, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
57 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5849, 56, 57, 40grprinv 19009 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
5946, 55, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6044, 59eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g𝐺))
6152, 25sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
6249, 56gsumccat 18855 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6348, 53, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6433symgid 19420 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6535, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6660, 63, 653eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
6733, 34, 35, 37, 66psgnunilem4 19516 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
6832, 67eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
6920, 23, 683eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
707, 14, 18, 69diveq1d 12052 1 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wss 3950   I cid 5576  ran crn 5685  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  0cn0 12528  cz 12615  cexp 14103  chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609  reversecreverse 14797  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  SymGrpcsymg 19387  pmTrspcpmtr 19460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-efmnd 18883  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-oppg 19365  df-symg 19388  df-pmtr 19461
This theorem is referenced by:  psgneu  19525  psgndiflemA  21620
  Copyright terms: Public domain W3C validator