Theorem psgnuni 19541

Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnuni.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
psgnuni	⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnuni.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
2		lencl 14581	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		m1expcl 14137	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12748	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8		psgnuni.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9		lencl 14581	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12		m1expcl 14137	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12748	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		neg1cn 12407	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		neg1ne0 12409	. . 3 ⊢ -1 ≠ 0
17		expne0i 14145	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
18	15, 16, 11, 17	mp3an12i 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19		m1expaddsub 19540	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
20	4, 11, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21		expsub 14161	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
22	15, 16, 21	mpanl12 701	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
23	4, 11, 22	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24		revcl 14809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26		ccatlen 14623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
27	1, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28		revlen 14810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
30	29	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
31	27, 30	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
32	31	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33		psgnuni.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34		psgnuni.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35		psgnuni.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
36		ccatcl 14622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
37	1, 25, 36	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38		psgnuni.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
39	38	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	34, 33, 40	symgtrinv 19514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
42	35, 8, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
43	39, 42	eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
45	33	symggrp 19442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
46	35, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
47		grpmnd 18980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
48	35, 45, 47	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
50	34, 33, 49	symgtrf 19511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51		sswrd 14570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
53	52, 1	sselid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
54	49	gsumwcl 18874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
55	48, 53, 54	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
57		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
58	49, 56, 57, 40	grprinv 19030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
59	46, 55, 58	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
60	44, 59	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
61	52, 25	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
62	49, 56	gsumccat 18876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
63	48, 53, 61, 62	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
64	33	symgid 19443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
65	35, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
66	60, 63, 65	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
67	33, 34, 35, 37, 66	psgnunilem4 19539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
68	32, 67	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
69	20, 23, 68	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
70	7, 14, 18, 69	diveq1d 12078	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976   I cid 5592  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  reversecreverse 14806  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SymGrpcsymg 19410  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by:  psgneu  19548  psgndiflemA  21642