Theorem psgnuni 19474

Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnuni.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
psgnuni	⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnuni.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
2		lencl 14495	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		m1expcl 14048	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12634	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8		psgnuni.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝑇)
9		lencl 14495	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12		m1expcl 14048	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12634	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		neg1cn 12144	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		neg1ne0 12146	. . 3 ⊢ -1 ≠ 0
17		expne0i 14056	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
18	15, 16, 11, 17	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
19		m1expaddsub 19473	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
20	4, 11, 19	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
21		expsub 14072	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
22	15, 16, 21	mpanl12 703	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
23	4, 11, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
24		revcl 14723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
26		ccatlen 14537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
27	1, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
28		revlen 14724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
30	29	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
31	27, 30	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))))
32	31	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))))
33		psgnuni.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
34		psgnuni.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
35		psgnuni.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
36		ccatcl 14536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
37	1, 25, 36	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
38		psgnuni.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
39	38	fveq2d 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
41	34, 33, 40	symgtrinv 19447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
42	35, 8, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
43	39, 42	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
44	43	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
45	33	symggrp 19375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
46	35, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
47		grpmnd 18916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
48	35, 45, 47	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
50	34, 33, 49	symgtrf 19444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
51		sswrd 14484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
53	52, 1	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
54	49	gsumwcl 18807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
55	48, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
56		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
58	49, 56, 57, 40	grprinv 18966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
59	46, 55, 58	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g‘𝐺))
60	44, 59	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
61	52, 25	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
62	49, 56	gsumccat 18809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
63	48, 53, 61, 62	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
64	33	symgid 19376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
65	35, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
66	60, 63, 65	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
67	33, 34, 35, 37, 66	psgnunilem4 19472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
68	32, 67	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
69	20, 23, 68	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
70	7, 14, 18, 69	diveq1d 11939	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890   I cid 5525  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532  reversecreverse 14720  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417

This theorem is referenced by:  psgneu  19481  psgndiflemA  21581