MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass 18920
Description: Product of group multiples, generalized to โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgass.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgass ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2 elznn0 12521 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
32simprbi 498 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
41, 3syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
5 simpr2 1196 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 elznn0 12521 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)))
76simprbi 498 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
85, 7syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
9 grpmnd 18762 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
11 simprl 770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
12 simprr 772 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
13 simplr3 1218 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
14 mulgass.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
15 mulgass.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
1614, 15mulgnn0ass 18919 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1373 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1817ex 414 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
191zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
205zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2119, 20mulneg1d 11615 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
2221adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
2322oveq1d 7377 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
249ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
25 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
26 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2827adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2914, 15mulgnn0ass 18919 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
3123, 30eqtr3d 2779 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
32 fveq2 6847 . . . . . . 7 ((-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
33 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
341, 5zmulcld 12620 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
3614, 15, 35mulgneg 18901 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)))
3733, 34, 27, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)))
3837fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))))
3914, 15mulgcl 18900 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4033, 34, 27, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4114, 35grpinvinv 18821 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
4240, 41syldan 592 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
4338, 42eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
4414, 15mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4533, 5, 27, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4614, 15, 35mulgneg 18901 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4733, 1, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4847fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
4914, 15mulgcl 18900 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
5033, 1, 45, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
5114, 35grpinvinv 18821 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5250, 51syldan 592 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5348, 52eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5443, 53eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5532, 54imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5655imp 408 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5731, 56syldan 592 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5857ex 414 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
599ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
60 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
61 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
6227adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6314, 15mulgnn0ass 18919 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
6519, 20mulneg2d 11616 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท -๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
6665adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ ยท -๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
6766oveq1d 7377 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
6814, 15, 35mulgneg 18901 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
6933, 5, 27, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
7069oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹))))
7114, 15, 35mulgneg2 18917 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹))))
7233, 1, 45, 71syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹))))
7370, 72eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
7473adantr 482 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
7564, 67, 743eqtr3d 2785 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-(๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
7675, 56syldan 592 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
7776ex 414 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
789ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
79 simprl 770 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
80 simprr 772 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
8127adantr 482 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8214, 15mulgnn0ass 18919 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1373 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = (-๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
8419, 20mul2negd 11617 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท -๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
8584oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
8685adantr 482 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘€ ยท -๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
8733adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
881adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
89 nn0z 12531 . . . . . . . . 9 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
9089ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
9114, 15mulgcl 18900 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
9314, 15, 35mulgneg2 18917 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))))
9514, 15, 35mulgneg 18901 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
9687, 90, 81, 95syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
9720negnegd 11510 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
9897adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
9998oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
10096, 99eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
101100oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ ยท ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
10294, 101eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘€ ยท (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
10383, 86, 1023eqtr3d 2785 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
104103ex 414 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
10518, 58, 77, 104ccased 1038 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
1064, 8, 105mp2and 698 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057   ยท cmul 11063  -cneg 11393  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  .gcmg 18879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880
This theorem is referenced by:  mulgassr  18921  odmod  19335  odmulgid  19343  odbezout  19347  gexdvdsi  19372  pgpfac1lem2  19861  pgpfac1lem3a  19862  pgpfac1lem3  19863  mulgrhm  20914  zlmlmod  20943
  Copyright terms: Public domain W3C validator