Theorem mulgass 19073

Description: Product of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elznn0 12611	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
3	2	simprbi 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		elznn0 12611	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
7	6	simprbi 495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
9		grpmnd 18904	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		simplr3 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		mulgass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		mulgass.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16	14, 15	mulgnn0ass 19072	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
17	10, 11, 12, 13, 16	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
19	1	zcnd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	5	zcnd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21	19, 20	mulneg1d 11705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
22	21	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
23	22	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
24	9	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
25		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
26		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		simpr3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	27	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	14, 15	mulgnn0ass 19072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
30	24, 25, 26, 28, 29	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
31	23, 30	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
32		fveq2 6902	. . . . . . 7 ⊢ ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
33		simpl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
34	1, 5	zmulcld 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
36	14, 15, 35	mulgneg 19054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
37	33, 34, 27, 36	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
38	37	fveq2d 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))))
39	14, 15	mulgcl 19053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	33, 34, 27, 39	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
41	14, 35	grpinvinv 18969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
42	40, 41	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
43	38, 42	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
44	14, 15	mulgcl 19053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
45	33, 5, 27, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	14, 15, 35	mulgneg 19054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
47	33, 1, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
48	47	fveq2d 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
49	14, 15	mulgcl 19053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	33, 1, 45, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	14, 35	grpinvinv 18969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
52	50, 51	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
53	48, 52	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
54	43, 53	eqeq12d 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
55	32, 54	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
57	31, 56	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
58	57	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
59	9	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
60		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
62	27	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
63	14, 15	mulgnn0ass 19072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
64	59, 60, 61, 62, 63	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
65	19, 20	mulneg2d 11706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
66	65	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
67	66	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
68	14, 15, 35	mulgneg 19054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
69	33, 5, 27, 68	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
70	69	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
71	14, 15, 35	mulgneg2 19070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
72	33, 1, 45, 71	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
73	70, 72	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
74	73	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
75	64, 67, 74	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
76	75, 56	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
77	76	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
78	9	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
79		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
80		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
81	27	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	14, 15	mulgnn0ass 19072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
83	78, 79, 80, 81, 82	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
84	19, 20	mul2negd 11707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
85	84	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
86	85	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
87	33	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
88	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
89		nn0z 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
90	89	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
91	14, 15	mulgcl 19053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
92	87, 90, 81, 91	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
93	14, 15, 35	mulgneg2 19070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
94	87, 88, 92, 93	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
95	14, 15, 35	mulgneg 19054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
96	87, 90, 81, 95	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
97	20	negnegd 11600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → --𝑁 = 𝑁)
98	97	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → --𝑁 = 𝑁)
99	98	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
100	96, 99	eqtr3d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
101	100	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
102	94, 101	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
103	83, 86, 102	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
104	103	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
105	18, 58, 77, 104	ccased 1036	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
106	4, 8, 105	mp2and 697	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145   · cmul 11151  -cneg 11483  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  Basecbs 17187  Mndcmnd 18701  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898  ._gcmg 19030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031

This theorem is referenced by:  mulgassr  19074  odmod  19508  odmulgid  19516  odbezout  19520  gexdvdsi  19545  pgpfac1lem2  20039  pgpfac1lem3a  20040  pgpfac1lem3  20041  mulgrhm  21410  zlmlmod  21459  primrootscoprmpow  41602  primrootscoprbij  41605  primrootspoweq0  41609  aks6d1c6lem5  41681