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Theorem mulgass 18264
Description: Product of group multiples, generalized to . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgass ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 elznn0 11993 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
32simprbi 500 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5 simpr2 1192 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 elznn0 11993 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
76simprbi 500 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
85, 7syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
9 grpmnd 18110 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11 simprl 770 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12 simprr 772 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 simplr3 1214 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
14 mulgass.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
15 mulgass.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1614, 15mulgnn0ass 18263 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1817ex 416 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
191zcnd 12085 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
205zcnd 12085 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2119, 20mulneg1d 11091 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2221adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2322oveq1d 7164 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
249ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
25 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
26 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
2827adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
2914, 15mulgnn0ass 18263 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3123, 30eqtr3d 2861 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
32 fveq2 6661 . . . . . . 7 ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
33 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
341, 5zmulcld 12090 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3614, 15, 35mulgneg 18246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
3733, 34, 27, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
3837fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))))
3914, 15mulgcl 18245 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
4033, 34, 27, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
4114, 35grpinvinv 18166 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4240, 41syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4338, 42eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4414, 15mulgcl 18245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4533, 5, 27, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4614, 15, 35mulgneg 18246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
4733, 1, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
4847fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
4914, 15mulgcl 18245 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
5033, 1, 45, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
5114, 35grpinvinv 18166 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5250, 51syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5348, 52eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5443, 53eqeq12d 2840 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
5532, 54syl5ib 247 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
5655imp 410 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5731, 56syldan 594 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5857ex 416 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
599ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
60 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
6227adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
6314, 15mulgnn0ass 18263 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
6519, 20mulneg2d 11092 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
6665adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
6766oveq1d 7164 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
6814, 15, 35mulgneg 18246 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
6933, 5, 27, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
7069oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7114, 15, 35mulgneg2 18261 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7233, 1, 45, 71syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7370, 72eqtr4d 2862 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7473adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7564, 67, 743eqtr3d 2867 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7675, 56syldan 594 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7776ex 416 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
789ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
79 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
80 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
8127adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
8214, 15mulgnn0ass 18263 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
8419, 20mul2negd 11093 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
8584oveq1d 7164 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
8685adantr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
8733adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
881adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
89 nn0z 12002 . . . . . . . . 9 (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
9089ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
9114, 15mulgcl 18245 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9314, 15, 35mulgneg2 18261 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
9514, 15, 35mulgneg 18246 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
9687, 90, 81, 95syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
9720negnegd 10986 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → --𝑁 = 𝑁)
9897adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → --𝑁 = 𝑁)
9998oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
10096, 99eqtr3d 2861 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
101100oveq2d 7165 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
10294, 101eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
10383, 86, 1023eqtr3d 2867 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
104103ex 416 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
10518, 58, 77, 104ccased 1034 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
1064, 8, 105mp2and 698 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534   · cmul 10540  -cneg 10869  0cn0 11894  cz 11978  Basecbs 16483  Mndcmnd 17911  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  .gcmg 18224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225
This theorem is referenced by:  mulgassr  18265  odmod  18674  odmulgid  18681  odbezout  18685  gexdvdsi  18708  pgpfac1lem2  19197  pgpfac1lem3a  19198  pgpfac1lem3  19199  mulgrhm  20198  zlmlmod  20223
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