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Theorem mulgass 19129
Description: Product of group multiples, generalized to . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgass ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 elznn0 12628 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
32simprbi 496 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5 simpr2 1196 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 elznn0 12628 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
76simprbi 496 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
85, 7syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
9 grpmnd 18958 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
109ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11 simprl 771 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12 simprr 773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 simplr3 1218 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
14 mulgass.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
15 mulgass.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1614, 15mulgnn0ass 19128 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1374 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1817ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
191zcnd 12723 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
205zcnd 12723 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2119, 20mulneg1d 11716 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2322oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
249ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
25 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
26 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
2914, 15mulgnn0ass 19128 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3123, 30eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
32 fveq2 6906 . . . . . . 7 ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
33 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
341, 5zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3614, 15, 35mulgneg 19110 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
3733, 34, 27, 36syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
3837fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))))
3914, 15mulgcl 19109 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
4033, 34, 27, 39syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
4114, 35grpinvinv 19023 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4240, 41syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4338, 42eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
4414, 15mulgcl 19109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4533, 5, 27, 44syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4614, 15, 35mulgneg 19110 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
4733, 1, 45, 46syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
4847fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
4914, 15mulgcl 19109 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
5033, 1, 45, 49syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
5114, 35grpinvinv 19023 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5250, 51syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5348, 52eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5443, 53eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (((invg𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
5532, 54imbitrid 244 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
5655imp 406 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5731, 56syldan 591 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
5857ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
599ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
60 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
6227adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
6314, 15mulgnn0ass 19128 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
6519, 20mulneg2d 11717 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
6665adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
6766oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
6814, 15, 35mulgneg 19110 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
6933, 5, 27, 68syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
7069oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7114, 15, 35mulgneg2 19126 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7233, 1, 45, 71syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
7370, 72eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7473adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7564, 67, 743eqtr3d 2785 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7675, 56syldan 591 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
7776ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
789ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
79 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
80 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
8127adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
8214, 15mulgnn0ass 19128 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
8419, 20mul2negd 11718 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
8584oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
8685adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
8733adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
881adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
89 nn0z 12638 . . . . . . . . 9 (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
9089ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
9114, 15mulgcl 19109 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9314, 15, 35mulgneg2 19126 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
9514, 15, 35mulgneg 19110 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
9687, 90, 81, 95syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
9720negnegd 11611 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → --𝑁 = 𝑁)
9897adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → --𝑁 = 𝑁)
9998oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
10096, 99eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
101100oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
10294, 101eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
10383, 86, 1023eqtr3d 2785 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
104103ex 412 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
10518, 58, 77, 104ccased 1039 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
1064, 8, 105mp2and 699 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   · cmul 11160  -cneg 11493  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086
This theorem is referenced by:  mulgassr  19130  odmod  19564  odmulgid  19572  odbezout  19576  gexdvdsi  19601  pgpfac1lem2  20095  pgpfac1lem3a  20096  pgpfac1lem3  20097  mulgrhm  21488  zlmlmod  21537  elrgspnlem2  33247  primrootscoprmpow  42100  primrootscoprbij  42103  primrootspoweq0  42107  aks6d1c6lem5  42178  grpods  42195  unitscyglem1  42196  unitscyglem4  42199
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