Theorem prdsgrpd 18989

Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
prdsgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdsgrpd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdsgrpd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsgrpd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdsgrpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
7		grpmnd 18879	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3953	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
9		fss 6707	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prds0g 18705	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
12	3, 4, 5, 10	prdsmndd 18704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
15	5	elexd 3474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	4	elexd 3474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
19	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
21		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
23	3, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22	prdsinvlem 18988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))(+g‘𝑌)𝑎) = (0g ∘ 𝑅)))
24	23	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) ∈ (Base‘𝑌))
25	23	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))(+g‘𝑌)𝑎) = (0g ∘ 𝑅))
26	1, 2, 11, 12, 24, 25	isgrpd2 18895	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  X_scprds 17415  Mndcmnd 18668  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876

This theorem is referenced by:  prdsinvgd  18990  pwsgrp  18991  xpsgrp  18998  prdsabld  19799  prdsringd  20237  prdslmodd  20882  dsmmsubg  21659  prdstgpd  24019