MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgrpd 18978
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsgrpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ))
3 prdsgrpd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
4 prdsgrpd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsgrpd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
6 prdsgrpd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
7 grpmnd 18870 . . . . 5 (π‘Ž ∈ Grp β†’ π‘Ž ∈ Mnd)
87ssriv 3981 . . . 4 Grp βŠ† Mnd
9 fss 6728 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢Grp ∧ Grp βŠ† Mnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
106, 8, 9sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
113, 4, 5, 10prds0g 18701 . 2 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
123, 4, 5, 10prdsmndd 18700 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
13 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
14 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
155elexd 3489 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1615adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ V)
174elexd 3489 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1817adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐼 ∈ V)
196adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
20 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
21 eqid 2726 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
22 eqid 2726 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))
233, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22prdsinvlem 18977 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = (0g ∘ 𝑅)))
2423simpld 494 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2523simprd 495 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = (0g ∘ 𝑅))
261, 2, 11, 12, 24, 25isgrpd2 18886 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Xscprds 17400  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  18979  pwsgrp  18980  xpsgrp  18987  prdsabld  19782  prdsringd  20220  prdslmodd  20816  dsmmsubg  21638  prdstgpd  23984
  Copyright terms: Public domain W3C validator