MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgrpd 19013
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsgrpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ))
3 prdsgrpd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
4 prdsgrpd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsgrpd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
6 prdsgrpd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
7 grpmnd 18904 . . . . 5 (π‘Ž ∈ Grp β†’ π‘Ž ∈ Mnd)
87ssriv 3986 . . . 4 Grp βŠ† Mnd
9 fss 6744 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢Grp ∧ Grp βŠ† Mnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
106, 8, 9sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
113, 4, 5, 10prds0g 18735 . 2 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
123, 4, 5, 10prdsmndd 18734 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
13 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
14 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
155elexd 3494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1615adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ V)
174elexd 3494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1817adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐼 ∈ V)
196adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
20 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
21 eqid 2728 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
22 eqid 2728 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))
233, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22prdsinvlem 19012 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = (0g ∘ 𝑅)))
2423simpld 493 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2523simprd 494 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘))β€˜(π‘Žβ€˜π‘)))(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = (0g ∘ 𝑅))
261, 2, 11, 12, 24, 25isgrpd2 18920 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Xscprds 17434  Mndcmnd 18701  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  19014  pwsgrp  19015  xpsgrp  19022  prdsabld  19824  prdsringd  20264  prdslmodd  20860  dsmmsubg  21684  prdstgpd  24049
  Copyright terms: Public domain W3C validator