MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgrpd 19081
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsgrpd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsgrpd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd (𝜑𝑌 ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdsgrpd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdsgrpd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsgrpd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdsgrpd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
7 grpmnd 18971 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3999 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
9 fss 6753 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prds0g 18797 . 2 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
123, 4, 5, 10prdsmndd 18796 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
13 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
155elexd 3502 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
174elexd 3502 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
196adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
20 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
21 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
22 eqid 2735 . . . 4 (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
233, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22prdsinvlem 19080 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))(+g𝑌)𝑎) = (0g𝑅)))
2423simpld 494 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) ∈ (Base‘𝑌))
2523simprd 495 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))(+g𝑌)𝑎) = (0g𝑅))
261, 2, 11, 12, 24, 25isgrpd2 18987 1 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  cmpt 5231  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Xscprds 17492  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  19082  pwsgrp  19083  xpsgrp  19090  prdsabld  19895  prdsringd  20335  prdslmodd  20985  dsmmsubg  21781  prdstgpd  24149
  Copyright terms: Public domain W3C validator