Theorem symgsubmefmndALT 19536

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18919 and not on injsubmefmnd 19012 and sursubmefmnd 19011. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmndALT.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmndALT	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmndALT.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 19004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		symgsubmefmndALT.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgsubmefmndALT.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4, 1	symgressbas 19515	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑀 ↾s 𝐵)
6	3	symggrp 19533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
7		grpmnd 19070	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5, 8	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd)
10	3	idresperm 19519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
11	1	efmndid 19003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12	4	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = 𝐵
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
14	10, 11, 13	3eltr3d 2876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
15	3, 4	symgbasmap 19510	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
16	15	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18	1, 17	efmndbas 18986	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
19	16, 18	sseqtrri 3983	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
20	14, 19	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵))
21		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22	17, 21	issubmndb 18919	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)))
23	2, 9, 20, 22	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  SubMndcsubmnd 18896  EndoFMndcefmnd 18983  Grpcgrp 19063  SymGrpcsymg 19502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-tset 17367  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-efmnd 18984  df-grp 19066  df-symg 19503

This theorem is used by: (None)