Theorem symgsubmefmndALT 19597

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18980 and not on injsubmefmnd 19073 and sursubmefmnd 19072. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmndALT.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmndALT	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmndALT.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 19065	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		symgsubmefmndALT.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgsubmefmndALT.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4, 1	symgressbas 19576	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑀 ↾s 𝐵)
6	3	symggrp 19594	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
7		grpmnd 19131	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5, 8	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd)
10	3	idresperm 19580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
11	1	efmndid 19064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12	4	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = 𝐵
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
14	10, 11, 13	3eltr3d 2875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
15	3, 4	symgbasmap 19571	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
16	15	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18	1, 17	efmndbas 19047	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
19	16, 18	sseqtrri 3980	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
20	14, 19	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵))
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22	17, 21	issubmndb 18980	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)))
23	2, 9, 20, 22	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  SubMndcsubmnd 18957  EndoFMndcefmnd 19044  Grpcgrp 19124  SymGrpcsymg 19563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-tset 17427  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-efmnd 19045  df-grp 19127  df-symg 19564

This theorem is used by: (None)