MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmndALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmndALT 19357
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18756 and not on injsubmefmnd 18848 and sursubmefmnd 18847. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmndALT.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
symgsubmefmndALT.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
symgsubmefmndALT.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmndALT (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmndALT.m . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndmnd 18840 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3 symgsubmefmndALT.g . . . 4 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
4 symgsubmefmndALT.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4, 1symgressbas 19335 . . 3 𝐺 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
63symggrp 19354 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
7 grpmnd 18896 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
95, 8eqeltrrid 2830 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd)
103idresperm 19339 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
111efmndid 18839 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
124eqcomi 2734 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = 𝐡
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) = 𝐡)
1410, 11, 133eltr3d 2839 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
153, 4symgbasmap 19330 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1615ssriv 3977 . . . 4 𝐡 βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴)
17 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
181, 17efmndbas 18822 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (𝐴 ↑m 𝐴)
1916, 18sseqtrri 4011 . . 3 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
2014, 19jctil 518 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡))
21 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
2217, 21issubmndb 18756 . 2 (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)))
232, 9, 20, 22syl21anbrc 1341 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   I cid 5570   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  0gc0g 17415  Mndcmnd 18688  SubMndcsubmnd 18733  EndoFMndcefmnd 18819  Grpcgrp 18889  SymGrpcsymg 19320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-efmnd 18820  df-grp 18892  df-symg 19321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator