MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmndALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmndALT 18649
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18086 and not on injsubmefmnd 18178 and sursubmefmnd 18177. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmndALT.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmndALT (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmndALT.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndmnd 18170 . 2 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
3 symgsubmefmndALT.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgsubmefmndALT.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4, 1symgressbas 18628 . . 3 𝐺 = (𝑀s 𝐵)
63symggrp 18646 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
7 grpmnd 18226 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
95, 8eqeltrrid 2838 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd)
103idresperm 18632 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
111efmndid 18169 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
124eqcomi 2747 . . . . 5 (Base‘𝐺) = 𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
1410, 11, 133eltr3d 2847 . . 3 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
153, 4symgbasmap 18623 . . . . 5 (𝑓𝐵𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴))
1615ssriv 3881 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴)
17 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
181, 17efmndbas 18152 . . . 4 (Base‘𝑀) = (𝐴m 𝐴)
1916, 18sseqtrri 3914 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2014, 19jctil 523 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵))
21 eqid 2738 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2217, 21issubmndb 18086 . 2 (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵)))
232, 9, 20, 22syl21anbrc 1345 1 (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   I cid 5428  cres 5527  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Basecbs 16586  s cress 16587  0gc0g 16816  Mndcmnd 18027  SubMndcsubmnd 18071  EndoFMndcefmnd 18149  Grpcgrp 18219  SymGrpcsymg 18613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-tset 16687  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-efmnd 18150  df-grp 18222  df-symg 18614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator