MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmndALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmndALT 19263
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18681 and not on injsubmefmnd 18773 and sursubmefmnd 18772. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmndALT.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmndALT (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmndALT.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndmnd 18765 . 2 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
3 symgsubmefmndALT.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgsubmefmndALT.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4, 1symgressbas 19241 . . 3 𝐺 = (𝑀s 𝐵)
63symggrp 19260 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
7 grpmnd 18821 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
95, 8eqeltrrid 2839 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd)
103idresperm 19245 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
111efmndid 18764 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
124eqcomi 2742 . . . . 5 (Base‘𝐺) = 𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
1410, 11, 133eltr3d 2848 . . 3 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
153, 4symgbasmap 19236 . . . . 5 (𝑓𝐵𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴))
1615ssriv 3984 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴)
17 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
181, 17efmndbas 18747 . . . 4 (Base‘𝑀) = (𝐴m 𝐴)
1916, 18sseqtrri 4017 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2014, 19jctil 521 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵))
21 eqid 2733 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2217, 21issubmndb 18681 . 2 (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵)))
232, 9, 20, 22syl21anbrc 1345 1 (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3946   I cid 5571  cres 5676  cfv 6539  (class class class)co 7403  m cmap 8815  Basecbs 17139  s cress 17168  0gc0g 17380  Mndcmnd 18620  SubMndcsubmnd 18665  EndoFMndcefmnd 18744  Grpcgrp 18814  SymGrpcsymg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-tset 17211  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-efmnd 18745  df-grp 18817  df-symg 19227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator