Theorem symgsubmefmndALT 19316

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18713 and not on injsubmefmnd 18805 and sursubmefmnd 18804. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmndALT.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmndALT	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmndALT.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		symgsubmefmndALT.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgsubmefmndALT.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4, 1	symgressbas 19295	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑀 ↾s 𝐵)
6	3	symggrp 19313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
7		grpmnd 18853	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5, 8	eqeltrrid 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd)
10	3	idresperm 19299	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
11	1	efmndid 18796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12	4	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = 𝐵
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
14	10, 11, 13	3eltr3d 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
15	3, 4	symgbasmap 19290	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
16	15	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
17		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18	1, 17	efmndbas 18779	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
19	16, 18	sseqtrri 3984	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
20	14, 19	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵))
21		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22	17, 21	issubmndb 18713	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)))
23	2, 9, 20, 22	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  SubMndcsubmnd 18690  EndoFMndcefmnd 18776  Grpcgrp 18846  SymGrpcsymg 19282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-symg 19283

This theorem is referenced by: (None)