MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmndALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmndALT 19193
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18624 and not on injsubmefmnd 18715 and sursubmefmnd 18714. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmndALT.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
symgsubmefmndALT.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
symgsubmefmndALT.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmndALT (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmndALT.m . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndmnd 18707 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3 symgsubmefmndALT.g . . . 4 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
4 symgsubmefmndALT.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4, 1symgressbas 19171 . . 3 𝐺 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
63symggrp 19190 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
7 grpmnd 18763 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
95, 8eqeltrrid 2839 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd)
103idresperm 19175 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
111efmndid 18706 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
124eqcomi 2742 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = 𝐡
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) = 𝐡)
1410, 11, 133eltr3d 2848 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
153, 4symgbasmap 19166 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1615ssriv 3952 . . . 4 𝐡 βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴)
17 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
181, 17efmndbas 18689 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (𝐴 ↑m 𝐴)
1916, 18sseqtrri 3985 . . 3 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
2014, 19jctil 521 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡))
21 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
2217, 21issubmndb 18624 . 2 (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)))
232, 9, 20, 22syl21anbrc 1345 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914   I cid 5534   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  EndoFMndcefmnd 18686  Grpcgrp 18756  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-symg 19157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator