MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmndALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmndALT 19011
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18444 and not on injsubmefmnd 18536 and sursubmefmnd 18535. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmndALT.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmndALT (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmndALT.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndmnd 18528 . 2 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
3 symgsubmefmndALT.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgsubmefmndALT.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4, 1symgressbas 18989 . . 3 𝐺 = (𝑀s 𝐵)
63symggrp 19008 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
7 grpmnd 18584 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
95, 8eqeltrrid 2844 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd)
103idresperm 18993 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
111efmndid 18527 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
124eqcomi 2747 . . . . 5 (Base‘𝐺) = 𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
1410, 11, 133eltr3d 2853 . . 3 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
153, 4symgbasmap 18984 . . . . 5 (𝑓𝐵𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴))
1615ssriv 3925 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴)
17 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
181, 17efmndbas 18510 . . . 4 (Base‘𝑀) = (𝐴m 𝐴)
1916, 18sseqtrri 3958 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2014, 19jctil 520 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵))
21 eqid 2738 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2217, 21issubmndb 18444 . 2 (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵)))
232, 9, 20, 22syl21anbrc 1343 1 (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   I cid 5488  cres 5591  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Basecbs 16912  s cress 16941  0gc0g 17150  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  EndoFMndcefmnd 18507  Grpcgrp 18577  SymGrpcsymg 18974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-symg 18975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator