MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg3 19175
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21subg0cl 19165 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
41subm0cl 18837 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
7 ne0i 4347 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
8 id 22 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
97, 82thd 265 . . . . . . 7 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
11 r19.26 3109 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1310, 123anbi23d 1438 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
14 anass 468 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
15 df-3an 1088 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1615anbi1i 624 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
17 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1814, 16, 173bitr4ri 304 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1913, 18bitrdi 287 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
20 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
22 issubg3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
2320, 21, 22issubg2 19172 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
2423adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
25 grpmnd 18971 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2620, 1, 21issubm 18829 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2827anbi1d 631 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3019, 24, 293bitr4d 311 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3130ex 412 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
323, 6, 31pm5.21ndd 379 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154
This theorem is referenced by:  subgsubm  19179  0subg  19182  subgacs  19192  ghmeql  19270  cntzsubg  19370  oppgsubg  19397  finodsubmsubg  19600  lsmsubg  19687
  Copyright terms: Public domain W3C validator