MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg3 17921
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21subg0cl 17911 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
41subm0cl 17663 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
54adantr 473 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
7 ne0i 4119 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
8 id 22 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
97, 82thd 257 . . . . . . 7 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
109adantl 474 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
11 r19.26 3243 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1310, 123anbi23d 1564 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
14 anass 461 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
15 df-3an 1110 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1615anbi1i 618 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
17 df-3an 1110 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1814, 16, 173bitr4ri 296 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1913, 18syl6bb 279 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
20 eqid 2797 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2797 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
22 issubg3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
2320, 21, 22issubg2 17918 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
2423adantr 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
25 grpmnd 17741 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2620, 1, 21issubm 17658 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2827anbi1d 624 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
2928adantr 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3019, 24, 293bitr4d 303 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3130ex 402 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
323, 6, 31pm5.21ndd 371 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  wss 3767  c0 4113  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16180  +gcplusg 16263  0gc0g 16411  Mndcmnd 17605  SubMndcsubmnd 17645  Grpcgrp 17734  invgcminusg 17735  SubGrpcsubg 17897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-base 16186  df-sets 16187  df-ress 16188  df-plusg 16276  df-0g 16413  df-mgm 17553  df-sgrp 17595  df-mnd 17606  df-submnd 17647  df-grp 17737  df-minusg 17738  df-subg 17900
This theorem is referenced by:  subgsubm  17925  subgacs  17938  ghmeql  17992  cntzsubg  18077  oppgsubg  18101  lsmsubg  18378
  Copyright terms: Public domain W3C validator