MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg3 19162
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21subg0cl 19152 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
41subm0cl 18824 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
7 ne0i 4341 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
8 id 22 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
97, 82thd 265 . . . . . . 7 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
11 r19.26 3111 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1310, 123anbi23d 1441 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
14 anass 468 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
15 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1615anbi1i 624 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
17 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1814, 16, 173bitr4ri 304 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1913, 18bitrdi 287 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
22 issubg3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
2320, 21, 22issubg2 19159 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
2423adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
25 grpmnd 18958 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2620, 1, 21issubm 18816 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2827anbi1d 631 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3019, 24, 293bitr4d 311 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3130ex 412 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
323, 6, 31pm5.21ndd 379 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141
This theorem is referenced by:  subgsubm  19166  0subg  19169  subgacs  19179  ghmeql  19257  cntzsubg  19357  oppgsubg  19382  finodsubmsubg  19585  lsmsubg  19672
  Copyright terms: Public domain W3C validator