Theorem issubg3 19206

Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg3	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	subg0cl 19195	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
4	1	subm0cl 18864	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
7		ne0i 4294	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
8		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
9	7, 8	2thd 268	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
11		r19.26 3125	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
13	10, 12	3anbi23d 1467	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
14		anass 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
15		df-3an 1105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	anbi1i 635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
18	14, 16, 17	3bitr4ri 307	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
19	13, 18	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
22		issubg3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	issubg2 19203	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
25		grpmnd 19002	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
26	20, 1, 21	issubm 18856	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	27	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
29	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
30	19, 24, 29	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
31	30	ex 417	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
32	3, 6, 31	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  SubMndcsubmnd 18835  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  SubGrpcsubg 19181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184

This theorem is referenced by:  subgsubm  19210  0subg  19213  subgacs  19222  ghmeql  19304  cntzsubg  19404  oppgsubg  19428  finodsubmsubg  19632  lsmsubg  19719  fxpsubg  33493