Theorem oppggrp 19332

Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrp	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19326	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 6	oppgid 19331	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
9		grpmnd 18916	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
10	1	oppgmnd 19329	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13	2, 12	grpinvcl 18963	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
16	14, 1, 15	oppgplus 19324	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))
17	2, 14, 6, 12	grprinv 18966	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
18	16, 17	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
19	4, 5, 8, 11, 13, 18	isgrpd2 18932	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  opp_gcoppg 19320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-oppg 19321

This theorem is referenced by:  oppggrpb  19333  oppginv  19334  invoppggim  19335  oppgtgp  24063