Theorem oppggrp 19533

Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrp	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19527	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 6	oppgid 19532	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
9		grpmnd 19113	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
10	1	oppgmnd 19530	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13	2, 12	grpinvcl 19160	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
16	14, 1, 15	oppgplus 19525	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))
17	2, 14, 6, 12	grprinv 19163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
18	16, 17	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
19	4, 5, 8, 11, 13, 18	isgrpd2 19129	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  0_gc0g 17572  Mndcmnd 18885  Grpcgrp 19106  inv_gcminusg 19107  opp_gcoppg 19521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-oppg 19522

This theorem is used by:  oppggrpb  19534  oppginv  19535  invoppggim  19536  oppgtgp  24379