Theorem oppggrp 18945

Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrp	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 18937	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 6	oppgid 18944	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
9		grpmnd 18565	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
10	1	oppgmnd 18942	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12		eqid 2739	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13	2, 12	grpinvcl 18608	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
16	14, 1, 15	oppgplus 18934	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))
17	2, 14, 6, 12	grprinv 18610	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
18	16, 17	eqtrid 2791	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
19	4, 5, 8, 11, 13, 18	isgrpd2 18580	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  0_gc0g 17131  Mndcmnd 18366  Grpcgrp 18558  inv_gcminusg 18559  opp_gcoppg 18930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-oppg 18931

This theorem is referenced by:  oppggrpb  18946  oppginv  18947  invoppggim  18948  oppgtgp  23230