Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppggrp 18480
 Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppggrp (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
2 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2oppgbas 18474 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqidd 2802 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (+g𝑂) = (+g𝑂))
6 eqid 2801 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
71, 6oppgid 18479 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
87a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) = (0g𝑂))
9 grpmnd 18105 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
101oppgmnd 18477 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
119, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12 eqid 2801 . . 3 (invg𝑅) = (invg𝑅)
132, 12grpinvcl 18146 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14 eqid 2801 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
15 eqid 2801 . . . 4 (+g𝑂) = (+g𝑂)
1614, 1, 15oppgplus 18472 . . 3 (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))
172, 14, 6, 12grprinv 18148 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
1816, 17syl5eq 2848 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑂)𝑥) = (0g𝑅))
194, 5, 8, 11, 13, 18isgrpd2 18118 1 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  0gc0g 16708  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18098  invgcminusg 18099  oppgcoppg 18468 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-oppg 18469 This theorem is referenced by:  oppggrpb  18481  oppginv  18482  invoppggim  18483  oppgtgp  22706
 Copyright terms: Public domain W3C validator