Theorem mulgneg2 19035

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgneg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2		neg0 11510	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
3	1, 2	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
4	3	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋))))
7		negeq 11456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
8	7	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
10	8, 9	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
11		negeq 11456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
12	11	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
15		negeq 11456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
16	15	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
18	16, 17	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
19		negeq 11456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
20	19	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
22	20, 21	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
23		mulgneg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
25		mulgneg2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulg0 19002	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28		mulgneg2.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
29	23, 28	grpinvcl 18917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
30	23, 24, 25	mulg0 19002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
32	27, 31	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
33		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
34		nn0cn 12486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		negdi 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
38	35, 36, 37	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
39	38	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41		nn0negz 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43		1z 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		znegcl 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	23, 25, 47	mulgdir 19033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
49	40, 42, 45, 46, 48	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
50	23, 25, 28	mulgm1 19021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
52	51	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
54		grpmnd 18870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
55	54	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
57	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 25, 47	mulgnn0p1 19012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
60	53, 59	eqeq12d 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))))
61	33, 60	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
62	61	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))))
63		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
64		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65		nnnegz 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	23, 25, 28	mulgneg 19019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
71	23, 25, 28	mulgnegnn 19011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
72	70, 29, 71	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
73	69, 72	eqeq12d 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
74	63, 73	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
75	74	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
76	6, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75	zindd 12667	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
77	76	3impia 1114	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
78	77	3com23 1123	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  -cneg 11449  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  ._gcmg 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996

This theorem is referenced by:  mulgass  19038  cyggeninv  19803