Theorem mulgneg2 19237

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgneg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2		neg0 11532	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
3	1, 2	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
4	3	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋))))
7		negeq 11477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
8	7	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
10	8, 9	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
11		negeq 11477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
12	11	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
15		negeq 11477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
16	15	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
18	16, 17	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
19		negeq 11477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
20	19	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
22	20, 21	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
23		mulgneg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
25		mulgneg2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulg0 19203	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28		mulgneg2.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
29	23, 28	grpinvcl 19117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
30	23, 24, 25	mulg0 19203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
31	29, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
32	27, 31	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
33		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
34		nn0cn 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		negdi 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
38	35, 36, 37	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
39	38	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41		nn0negz 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
42	41	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43		1z 12652	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		znegcl 12657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
45	43, 44	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	23, 25, 47	mulgdir 19235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
49	40, 42, 45, 46, 48	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
50	23, 25, 28	mulgm1 19223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
52	51	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
54		grpmnd 19070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
57	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 25, 47	mulgnn0p1 19214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
60	53, 59	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))))
61	33, 60	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
62	61	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))))
63		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
64		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65		nnnegz 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	23, 25, 28	mulgneg 19221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
71	23, 25, 28	mulgnegnn 19213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
72	70, 29, 71	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
73	69, 72	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
74	63, 73	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
75	74	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
76	6, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75	zindd 12726	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
77	76	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
78	77	3com23 1144	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  -cneg 11470  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  ._gcmg 19196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197

This theorem is used by:  mulgass  19240  cyggeninv  20016