Theorem mulgneg2 18681

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgneg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2		neg0 11213	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
3	1, 2	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
4	3	oveq1d 7275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5		oveq1 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋))))
7		negeq 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
8	7	oveq1d 7275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9		oveq1 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
11		negeq 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
12	11	oveq1d 7275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13		oveq1 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
15		negeq 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
16	15	oveq1d 7275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17		oveq1 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
19		negeq 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
20	19	oveq1d 7275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21		oveq1 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
22	20, 21	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
23		mulgneg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
25		mulgneg2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulg0 18651	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28		mulgneg2.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
29	23, 28	grpinvcl 18571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
30	23, 24, 25	mulg0 18651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
32	27, 31	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
33		oveq1 7267	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
34		nn0cn 12189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 10876	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		negdi 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
38	35, 36, 37	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
39	38	oveq1d 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41		nn0negz 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43		1z 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		znegcl 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	23, 25, 47	mulgdir 18679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
49	40, 42, 45, 46, 48	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
50	23, 25, 28	mulgm1 18668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
52	51	oveq2d 7276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
54		grpmnd 18528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
55	54	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
57	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 25, 47	mulgnn0p1 18659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
60	53, 59	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))))
61	33, 60	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
62	61	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))))
63		fveq2 6761	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
64		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65		nnnegz 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	23, 25, 28	mulgneg 18666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
71	23, 25, 28	mulgnegnn 18658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
72	70, 29, 71	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
73	69, 72	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
74	63, 73	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
75	74	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
76	6, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75	zindd 12367	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
77	76	3impia 1115	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
78	77	3com23 1124	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  ℂcc 10816  0cc0 10818  1c1 10819   + caddc 10821  -cneg 11152  ℕcn 11919  ℕ₀cn0 12179  ℤcz 12265  Basecbs 16856  +_gcplusg 16906  0_gc0g 17094  Mndcmnd 18329  Grpcgrp 18521  inv_gcminusg 18522  ._gcmg 18644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-fz 13185  df-seq 13666  df-0g 17096  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-grp 18524  df-minusg 18525  df-mulg 18645

This theorem is referenced by:  mulgass  18684  cyggeninv  19427