MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg2 19067
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgneg2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgneg2.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgneg2.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgneg2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgneg2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 11482 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ -๐‘ฅ = -0)
2 neg0 11536 . . . . . . 7 -0 = 0
31, 2eqtrdi 2781 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ -๐‘ฅ = 0)
43oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
5 oveq1 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (0 ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
64, 5eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (0 ยท ๐‘‹) = (0 ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
7 negeq 11482 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ -๐‘ฅ = -๐‘›)
87oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘› ยท ๐‘‹))
9 oveq1 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
108, 9eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
11 negeq 11482 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ -๐‘ฅ = -(๐‘› + 1))
1211oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹))
13 oveq1 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
1412, 13eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
15 negeq 11482 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘› โ†’ -๐‘ฅ = --๐‘›)
1615oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘› โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (--๐‘› ยท ๐‘‹))
17 oveq1 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘› โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
1816, 17eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = -๐‘› โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (--๐‘› ยท ๐‘‹) = (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
19 negeq 11482 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ -๐‘ฅ = -๐‘)
2019oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
21 oveq1 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
2220, 21eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฅ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
23 mulgneg2.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
24 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
25 mulgneg2.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2623, 24, 25mulg0 19034 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2726adantl 480 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
28 mulgneg2.i . . . . . . 7 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
2923, 28grpinvcl 18948 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3023, 24, 25mulg0 19034 . . . . . 6 ((๐ผโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
3227, 31eqtr4d 2768 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0 ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
33 oveq1 7423 . . . . . 6 ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)))
34 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
3534adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
36 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
37 negdi 11547 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐‘› + 1) = (-๐‘› + -1))
3835, 36, 37sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘› + 1) = (-๐‘› + -1))
3938oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘› + -1) ยท ๐‘‹))
40 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
41 nn0negz 12630 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
4241adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
43 1z 12622 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„ค
44 znegcl 12627 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
46 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
47 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4823, 25, 47mulgdir 19065 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘› + -1) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-1 ยท ๐‘‹)))
4940, 42, 45, 46, 48syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘› + -1) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-1 ยท ๐‘‹)))
5023, 25, 28mulgm1 19053 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-1 ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜๐‘‹))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1 ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜๐‘‹))
5251oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-1 ยท ๐‘‹)) = ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)))
5339, 49, 523eqtrd 2769 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)))
54 grpmnd 18901 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
5554ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
56 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
5729adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5823, 25, 47mulgnn0p1 19044 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ผโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)))
5955, 56, 57, 58syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)))
6053, 59eqeq12d 2741 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” ((-๐‘› ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐ผโ€˜๐‘‹))))
6133, 60imbitrrid 245 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
6261ex 411 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ (-(๐‘› + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘› + 1) ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))))
63 fveq2 6892 . . . . . 6 ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ (๐ผโ€˜(-๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
64 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
65 nnnegz 12591 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
6665adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
67 simplr 767 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6823, 25, 28mulgneg 19051 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘› ยท ๐‘‹)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (--๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘› ยท ๐‘‹)))
70 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
7123, 25, 28mulgnegnn 19043 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ผโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
7270, 29, 71syl2anr 595 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
7369, 72eqeq12d 2741 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((--๐‘› ยท ๐‘‹) = (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐ผโ€˜(-๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))))
7463, 73imbitrrid 245 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ (--๐‘› ยท ๐‘‹) = (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
7574ex 411 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((-๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)) โ†’ (--๐‘› ยท ๐‘‹) = (-๐‘› ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))))
766, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75zindd 12693 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹))))
77763impia 1114 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
78773com23 1123 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท (๐ผโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  -cneg 11475  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  .gcmg 19027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028
This theorem is referenced by:  mulgass  19070  cyggeninv  19842
  Copyright terms: Public domain W3C validator