Theorem mulgneg2 19096

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgneg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2		neg0 11534	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
4	3	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋))))
7		negeq 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
8	7	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
10	8, 9	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
11		negeq 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
12	11	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
15		negeq 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
16	15	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
18	16, 17	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
19		negeq 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
20	19	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
22	20, 21	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
23		mulgneg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
25		mulgneg2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulg0 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28		mulgneg2.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
29	23, 28	grpinvcl 18975	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
30	23, 24, 25	mulg0 19062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
32	27, 31	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
33		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
34		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		negdi 11545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
39	38	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41		nn0negz 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43		1z 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		znegcl 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	23, 25, 47	mulgdir 19094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
49	40, 42, 45, 46, 48	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
50	23, 25, 28	mulgm1 19082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
52	51	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
54		grpmnd 18928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
57	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 25, 47	mulgnn0p1 19073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
60	53, 59	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))))
61	33, 60	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
62	61	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))))
63		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
64		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65		nnnegz 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	23, 25, 28	mulgneg 19080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
71	23, 25, 28	mulgnegnn 19072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
72	70, 29, 71	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
73	69, 72	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
74	63, 73	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
75	74	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
76	6, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75	zindd 12699	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
77	76	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
78	77	3com23 1126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  -cneg 11472  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  ._gcmg 19055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056

This theorem is referenced by:  mulgass  19099  cyggeninv  19869