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Theorem mulgneg2 19139
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgneg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m · = (.g𝐺)
mulgneg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 11498 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2 neg0 11553 . . . . . . 7 -0 = 0
31, 2eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
43oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
64, 5eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋))))
7 negeq 11498 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
87oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑛 · (𝐼𝑋)))
108, 9eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋))))
11 negeq 11498 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
1211oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
15 negeq 11498 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
1615oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))
1816, 17eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
19 negeq 11498 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
2019oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
2220, 21eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
23 mulgneg2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
24 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
25 mulgneg2.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
2623, 24, 25mulg0 19105 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
28 mulgneg2.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
2923, 28grpinvcl 19018 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
3023, 24, 25mulg0 19105 . . . . . 6 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3227, 31eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋)))
33 oveq1 7438 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
34 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
37 negdi 11564 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3835, 36, 37sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3938oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41 nn0negz 12653 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43 1z 12645 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
44 znegcl 12650 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
47 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4823, 25, 47mulgdir 19137 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
4940, 42, 45, 46, 48syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
5023, 25, 28mulgm1 19125 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5251oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5339, 49, 523eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
54 grpmnd 18971 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5729adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
5823, 25, 47mulgnn0p1 19116 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5955, 56, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
6053, 59eqeq12d 2751 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋))))
6133, 60imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
6261ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))))
63 fveq2 6907 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
64 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65 nnnegz 12614 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
6665adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
6823, 25, 28mulgneg 19123 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7123, 25, 28mulgnegnn 19115 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7270, 29, 71syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7369, 72eqeq12d 2751 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋)))))
7463, 73imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
7574ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))))
766, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75zindd 12717 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
77763impia 1116 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
78773com23 1125 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulgass  19142  cyggeninv  19916
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