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Theorem mulgneg2 19127
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgneg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m · = (.g𝐺)
mulgneg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 11501 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2 neg0 11556 . . . . . . 7 -0 = 0
31, 2eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
43oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
64, 5eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋))))
7 negeq 11501 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
87oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑛 · (𝐼𝑋)))
108, 9eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋))))
11 negeq 11501 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
1211oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
15 negeq 11501 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
1615oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))
1816, 17eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
19 negeq 11501 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
2019oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
2220, 21eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
23 mulgneg2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
24 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
25 mulgneg2.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
2623, 24, 25mulg0 19093 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
28 mulgneg2.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
2923, 28grpinvcl 19006 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
3023, 24, 25mulg0 19093 . . . . . 6 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3227, 31eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋)))
33 oveq1 7439 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
34 nn0cn 12538 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
37 negdi 11567 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3835, 36, 37sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3938oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41 nn0negz 12657 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43 1z 12649 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
44 znegcl 12654 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
47 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4823, 25, 47mulgdir 19125 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
4940, 42, 45, 46, 48syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
5023, 25, 28mulgm1 19113 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5251oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5339, 49, 523eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
54 grpmnd 18959 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5729adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
5823, 25, 47mulgnn0p1 19104 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5955, 56, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
6053, 59eqeq12d 2752 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋))))
6133, 60imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
6261ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))))
63 fveq2 6905 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
64 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65 nnnegz 12618 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
6665adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
6823, 25, 28mulgneg 19111 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7123, 25, 28mulgnegnn 19103 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7270, 29, 71syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7369, 72eqeq12d 2752 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋)))))
7463, 73imbitrrid 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
7574ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))))
766, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75zindd 12721 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
77763impia 1117 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
78773com23 1126 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  -cneg 11494  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  .gcmg 19086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087
This theorem is referenced by:  mulgass  19130  cyggeninv  19902
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