MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvgd 18201
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsgrpd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsgrpd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n 𝑁 = (invg𝑌)
prdsinvgd.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsinvgd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2822 . . . . 5 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 prdsgrpd.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑉)
54elexd 3489 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
6 prdsgrpd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
76elexd 3489 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
8 prdsgrpd.r . . . . 5 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
9 prdsinvgd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
10 eqid 2822 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
11 eqid 2822 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))
121, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11prdsinvlem 18199 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅)))
1312simprd 499 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅))
14 grpmnd 18101 . . . . . 6 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1514ssriv 3946 . . . . 5 Grp ⊆ Mnd
16 fss 6508 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
178, 15, 16sylancl 589 . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
181, 6, 4, 17prds0g 17936 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
1913, 18eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌))
201, 6, 4, 8prdsgrpd 18200 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
2112simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵)
22 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
23 prdsinvgd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
242, 3, 22, 23grpinvid2 18146 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2520, 9, 21, 24syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2619, 25mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  wss 3908  cmpt 5122  ccom 5536  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Xscprds 16710  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18094  invgcminusg 18095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098
This theorem is referenced by:  pwsinvg  18203  prdsinvgd2  20429  prdstgpd  22728
  Copyright terms: Public domain W3C validator