Theorem prdsinvgd 18212

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 18210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
13	12	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14		grpmnd 18112	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
15	14	ssriv 3973	. . . . 5 ⊢ Grp ⊆ Mnd
16		fss 6529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
17	8, 15, 16	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
18	1, 6, 4, 17	prds0g 17947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
19	13, 18	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌))
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 18211	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21	12	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵)
22		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
23		prdsinvgd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 18157	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
26	19, 25	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   ↦ cmpt 5148   ∘ ccom 5561  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  X_scprds 16721  Mndcmnd 17913  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109

This theorem is referenced by:  pwsinvg  18214  prdsinvgd2  20888  prdstgpd  22735