Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvgd 17887
 Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsgrpd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsgrpd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n 𝑁 = (invg𝑌)
prdsinvgd.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsinvgd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2825 . . . . 5 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 prdsgrpd.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑉)
5 elex 3429 . . . . . 6 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
7 prdsgrpd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
8 elex 3429 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼 ∈ V)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
10 prdsgrpd.r . . . . 5 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
11 prdsinvgd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
12 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
13 eqid 2825 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))
141, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13prdsinvlem 17885 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅)))
1514simprd 491 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅))
16 grpmnd 17790 . . . . . 6 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1716ssriv 3831 . . . . 5 Grp ⊆ Mnd
18 fss 6295 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
1910, 17, 18sylancl 580 . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
201, 7, 4, 19prds0g 17684 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
2115, 20eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌))
221, 7, 4, 10prdsgrpd 17886 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
2314simpld 490 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵)
24 eqid 2825 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
25 prdsinvgd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
262, 3, 24, 25grpinvid2 17832 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2722, 11, 23, 26syl3anc 1494 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2821, 27mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4954   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  0gc0g 16460  Xscprds 16466  Mndcmnd 17654  Grpcgrp 17783  invgcminusg 17784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787 This theorem is referenced by:  pwsinvg  17889  prdsinvgd2  20456  prdstgpd  22305
 Copyright terms: Public domain W3C validator