MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvgd 18863
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsgrpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
prdsinvgd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsinvgd.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
prdsinvgd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsinvgd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
4 prdsgrpd.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
54elexd 3464 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
6 prdsgrpd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
76elexd 3464 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8 prdsgrpd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
9 prdsinvgd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 eqid 2733 . . . . 5 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
121, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11prdsinvlem 18861 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
1312simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14 grpmnd 18760 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ Grp β†’ π‘Ž ∈ Mnd)
1514ssriv 3949 . . . . 5 Grp βŠ† Mnd
16 fss 6686 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟢Grp ∧ Grp βŠ† Mnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
178, 15, 16sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
181, 6, 4, 17prds0g 18595 . . 3 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
1913, 18eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ))
201, 6, 4, 8prdsgrpd 18862 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
2112simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
22 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
23 prdsinvgd.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
242, 3, 22, 23grpinvid2 18808 . . 3 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ)))
2520, 9, 21, 24syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ)))
2619, 25mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Xscprds 17332  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757
This theorem is referenced by:  pwsinvg  18865  prdsinvgd2  21164  prdstgpd  23492
  Copyright terms: Public domain W3C validator