Theorem prdsinvgd 19018

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 19016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
13	12	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14		grpmnd 18907	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
15	14	ssriv 3926	. . . . 5 ⊢ Grp ⊆ Mnd
16		fss 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
17	8, 15, 16	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
18	1, 6, 4, 17	prds0g 18730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
19	13, 18	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌))
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 19017	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21	12	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵)
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
23		prdsinvgd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 18959	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
26	19, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  X_scprds 17399  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904

This theorem is referenced by:  pwsinvg  19020  prdsinvgd2  21732  prdstgpd  24100