MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvgd 19045
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsgrpd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsgrpd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n 𝑁 = (invg𝑌)
prdsinvgd.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsinvgd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2726 . . . . 5 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 prdsgrpd.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑉)
54elexd 3485 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
6 prdsgrpd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
76elexd 3485 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
8 prdsgrpd.r . . . . 5 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
9 prdsinvgd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
10 eqid 2726 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
11 eqid 2726 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))
121, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11prdsinvlem 19043 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅)))
1312simprd 494 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑅))
14 grpmnd 18935 . . . . . 6 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1514ssriv 3983 . . . . 5 Grp ⊆ Mnd
16 fss 6744 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
178, 15, 16sylancl 584 . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
181, 6, 4, 17prds0g 18761 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
1913, 18eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌))
201, 6, 4, 8prdsgrpd 19044 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
2112simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵)
22 eqid 2726 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
23 prdsinvgd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
242, 3, 22, 23grpinvid2 18987 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2520, 9, 21, 24syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥)))(+g𝑌)𝑋) = (0g𝑌)))
2619, 25mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝑋𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  cmpt 5236  ccom 5686  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  Xscprds 17460  Mndcmnd 18727  Grpcgrp 18928  invgcminusg 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932
This theorem is referenced by:  pwsinvg  19047  prdsinvgd2  21740  prdstgpd  24120
  Copyright terms: Public domain W3C validator