Theorem prdsinvgd 19112

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 19110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
13	12	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14		grpmnd 19002	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
15	14	ssriv 3941	. . . . 5 ⊢ Grp ⊆ Mnd
16		fss 6722	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
17	8, 15, 16	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
18	1, 6, 4, 17	prds0g 18824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
19	13, 18	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌))
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 19111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21	12	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵)
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
23		prdsinvgd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 19054	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
26	19, 25	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  X_scprds 17493  Mndcmnd 18787  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999

This theorem is referenced by:  pwsinvg  19114  prdsinvgd2  21892  prdstgpd  24282