MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvgd 18979
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsgrpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
prdsinvgd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsinvgd.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
prdsinvgd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsinvgd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
4 prdsgrpd.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
54elexd 3489 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
6 prdsgrpd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
76elexd 3489 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8 prdsgrpd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
9 prdsinvgd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 eqid 2726 . . . . 5 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
11 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
121, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11prdsinvlem 18977 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
1312simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
14 grpmnd 18870 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ Grp β†’ π‘Ž ∈ Mnd)
1514ssriv 3981 . . . . 5 Grp βŠ† Mnd
16 fss 6728 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟢Grp ∧ Grp βŠ† Mnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
178, 15, 16sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
181, 6, 4, 17prds0g 18701 . . 3 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
1913, 18eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ))
201, 6, 4, 8prdsgrpd 18978 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
2112simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
22 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
23 prdsinvgd.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
242, 3, 22, 23grpinvid2 18922 . . 3 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ)))
2520, 9, 21, 24syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘Œ)𝑋) = (0gβ€˜π‘Œ)))
2619, 25mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Xscprds 17400  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867
This theorem is referenced by:  pwsinvg  18981  prdsinvgd2  21637  prdstgpd  23984
  Copyright terms: Public domain W3C validator