Theorem prdsinvgd 17887

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		elex 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7		prdsgrpd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		elex 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		prdsgrpd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
11		prdsinvgd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
13		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
14	1, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13	prdsinvlem 17885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅)))
15	14	simprd 491	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g ∘ 𝑅))
16		grpmnd 17790	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
17	16	ssriv 3831	. . . . 5 ⊢ Grp ⊆ Mnd
18		fss 6295	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
19	10, 17, 18	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
20	1, 7, 4, 19	prds0g 17684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
21	15, 20	eqtrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌))
22	1, 7, 4, 10	prdsgrpd 17886	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
23	14	simpld 490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵)
24		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
25		prdsinvgd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
26	2, 3, 24, 25	grpinvid2 17832	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
27	22, 11, 23, 26	syl3anc 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))(+g‘𝑌)𝑋) = (0g‘𝑌)))
28	21, 27	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4954   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  0_gc0g 16460  X_scprds 16466  Mndcmnd 17654  Grpcgrp 17783  inv_gcminusg 17784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787

This theorem is referenced by:  pwsinvg  17889  prdsinvgd2  20456  prdstgpd  22305