Theorem simpgnideld 20228

Description: A simple group contains a nonidentity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnideld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnideld.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnideld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnideld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem simpgnideld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnideld.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnideld.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpgnideld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgntrivd 20227	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
5	3	simpggrpd 20224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		grpmnd 19064	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7	1, 2	mndidcl 18852	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9	8	ne0d 4288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		eqsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
12	4, 11	mtbid 327	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
13		rexnal 3114	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836  Grpcgrp 19057  SimpGrpcsimpg 20219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-simpg 20220

This theorem is used by:  ablsimpgcygd  20235  ablsimpgfind  20239