Theorem simpgnideld 20215

Description: A simple group contains a nonidentity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnideld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnideld.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnideld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnideld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem simpgnideld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnideld.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnideld.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpgnideld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgntrivd 20214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
5	3	simpggrpd 20211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		grpmnd 19051	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7	1, 2	mndidcl 18840	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9	8	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		eqsn 4797	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
12	4, 11	mtbid 327	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
13		rexnal 3119	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  {csn 4591  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  Mndcmnd 18824  Grpcgrp 19044  SimpGrpcsimpg 20206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-nsg 19234  df-simpg 20207

This theorem is used by:  ablsimpgcygd  20222  ablsimpgfind  20226