MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  simpgnideld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpgnideld 19224
Description: A simple group contains a nonidentity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
simpgnideld.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnideld.2 0 = (0g𝐺)
simpgnideld.3 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpgnideld (𝜑 → ∃𝑥𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem simpgnideld
StepHypRef Expression
1 simpgnideld.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 simpgnideld.2 . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 simpgnideld.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
41, 2, 3simpgntrivd 19223 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
53simpggrpd 19220 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 grpmnd 18113 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
71, 2mndidcl 17929 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
98ne0d 4285 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
10 eqsn 4747 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 ))
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 ))
124, 11mtbid 327 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 )
13 rexnal 3233 . 2 (∃𝑥𝐵 ¬ 𝑥 = 0 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 )
1412, 13sylibr 237 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  c0 4277  {csn 4551  cfv 6344  Basecbs 16486  0gc0g 16716  Mndcmnd 17914  Grpcgrp 18106  SimpGrpcsimpg 19215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-nsg 18280  df-simpg 19216
This theorem is referenced by:  ablsimpgcygd  19231  ablsimpgfind  19235
  Copyright terms: Public domain W3C validator