Theorem simpgnideld 20008

Description: A simple group contains a nonidentity element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnideld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnideld.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnideld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnideld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem simpgnideld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpgnideld.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpgnideld.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpgnideld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	1, 2, 3	simpgntrivd 20007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
5	3	simpggrpd 20004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		grpmnd 18848	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7	1, 2	mndidcl 18652	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
9	8	ne0d 4287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		eqsn 4776	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
12	4, 11	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
13		rexnal 3084	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∅c0 4278  {csn 4571  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Mndcmnd 18637  Grpcgrp 18841  SimpGrpcsimpg 19999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-simpg 20000

This theorem is referenced by:  ablsimpgcygd  20015  ablsimpgfind  20019