Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 32313
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 37438 and for example lsatlspsn 37455. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20567 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3 snssi 4768 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
85, 6, 7lspcl 20437 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
92, 4, 8syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
1110, 6lsslvec 20568 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
129, 11syldan 591 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13123adant3 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
145, 7lspssid 20446 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
152, 4, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
165, 7lspssv 20444 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
172, 4, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
1810, 5ressbas2 17120 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2015, 19sseqtrd 3984 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21203adant3 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
2223adant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
2393adant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24153adant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25 eqid 2736 . . . . 5 (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
2610, 7, 25, 6lsslsp 20476 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
2722, 23, 24, 26syl3anc 1371 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28193adant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2927, 28eqtr3d 2778 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30 difid 4330 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
3130fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
3332eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
3433biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3736, 25lsp0 20470 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3812, 35, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
4034, 39eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g𝑌)})
41 elsni 4603 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0g𝑌)} → 𝑋 = (0g𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g𝑌))
43 lmodgrp 20329 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44 grpmnd 18755 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
452, 43, 443syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
4746, 5, 70ellsp 32158 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
482, 4, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4910, 5, 46ress0g 18584 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5045, 48, 17, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5150adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g𝑌))
5242, 51eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
5352ex 413 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
5453necon3ad 2956 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55543impia 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
57 sneq 4596 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5857difeq2d 4082 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
5958fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
6056, 59eleq12d 2832 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6160notbid 317 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6261ralsng 4634 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63623ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6455, 63mpbird 256 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66 eqid 2736 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
6765, 66, 25islbs2 20615 . . 3 (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
6867biimpar 478 . 2 ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
6913, 21, 29, 64, 68syl13anc 1372 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LBasisclbs 20535  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lbs 20536  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  lsatdim  32314
  Copyright terms: Public domain W3C validator