Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 33146
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 38302 and for example lsatlspsn 38319. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbslsat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lbslsat.y π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20939 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 snssi 4803 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
3 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
63, 4, 5lspcl 20808 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
71, 2, 6syl2an 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 lbslsat.y . . . . 5 π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
98, 4lsslvec 20942 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
107, 9syldan 590 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
11103adant3 1129 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
123, 5lspssid 20817 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
131, 2, 12syl2an 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
143, 5lspssv 20815 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
151, 2, 14syl2an 595 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
168, 3ressbas2 17178 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1813, 17sseqtrd 4014 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
19183adant3 1129 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
201adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 eqid 2724 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Œ) = (LSpanβ€˜π‘Œ)
228, 5, 21, 4lsslsp 20847 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
2320, 7, 13, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
24233adant3 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
25173adant3 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2624, 25eqtrd 2764 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
27 difid 4362 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…
2827fveq2i 6884 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
3029eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)))
3130biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
32 lveclmod 20939 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LVec β†’ π‘Œ ∈ LMod)
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
3433, 21lsp0 20841 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3510, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3731, 36eleqtrd 2827 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)})
38 elsni 4637 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)} β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
40 lmodgrp 20698 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41 grpmnd 18857 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
4220, 40, 413syl 18 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
43 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4443, 3, 50ellsp 32913 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
451, 2, 44syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
468, 3, 43ress0g 18682 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4742, 45, 15, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4847adantr 480 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4939, 48eqtr4d 2767 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = 0 )
5049ex 412 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑋 = 0 ))
5150necon3ad 2945 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
52513impia 1114 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
53 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
54 sneq 4630 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
5554difeq2d 4114 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}) = ({𝑋} βˆ– {𝑋}))
5655fveq2d 6885 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
5753, 56eleq12d 2819 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
5857notbid 318 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
5958ralsng 4669 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
60593ad2ant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
6152, 60mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
62 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
63 eqid 2724 . . . 4 (LBasisβ€˜π‘Œ) = (LBasisβ€˜π‘Œ)
6462, 63, 21islbs2 20990 . . 3 (π‘Œ ∈ LVec β†’ ({𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ) ↔ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))))
6564biimpar 477 . 2 ((π‘Œ ∈ LVec ∧ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
6611, 19, 26, 61, 65syl13anc 1369 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  {csn 4620  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381  Mndcmnd 18654  Grpcgrp 18850  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LBasisclbs 20907  LVecclvec 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lbs 20908  df-lvec 20936
This theorem is referenced by:  lsatdim  33147
  Copyright terms: Public domain W3C validator