Theorem lbslsat 31601

Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 36917 and for example lsatlspsn 36934. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lbslsat	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		snssi 4738	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspcl 20153	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	2, 4, 8	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
11	10, 6	lsslvec 20284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
12	9, 11	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13	12	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14	5, 7	lspssid 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
15	2, 4, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
16	5, 7	lspssv 20160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
17	2, 4, 16	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
18	10, 5	ressbas2 16875	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
20	15, 19	sseqtrd 3957	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21	20	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
22	2	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
23	9	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	15	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
26	10, 7, 25, 6	lsslsp 20192	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28	19	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
29	27, 28	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30		difid 4301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
31	30	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
33	32	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
34	33	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35		lveclmod 20283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
37	36, 25	lsp0 20186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
38	12, 35, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
39	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
40	34, 39	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)})
41		elsni 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)} → 𝑋 = (0g‘𝑌))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g‘𝑌))
43		lmodgrp 20045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44		grpmnd 18499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
45	2, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46		lbslsat.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
47	46, 5, 7	0ellsp 31467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
48	2, 4, 47	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	10, 5, 46	ress0g 18328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
50	45, 48, 17, 49	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g‘𝑌))
52	42, 51	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
54	53	necon3ad 2955	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55	54	3impia 1115	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
57		sneq 4568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
58	57	difeq2d 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
59	58	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
60	56, 59	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
61	60	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
62	61	ralsng 4606	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63	62	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
64	55, 63	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
67	65, 66, 25	islbs2 20331	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
68	67	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
69	13, 21, 29, 64, 68	syl13anc 1370	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  Grpcgrp 18492  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  lsatdim  31602