Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lbslsat 32696
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 37841 and for example lsatlspsn 37858. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbslsat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lbslsat.y π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20716 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
21adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 snssi 4811 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
43adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
5 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
85, 6, 7lspcl 20586 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
92, 4, 8syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10 lbslsat.y . . . . 5 π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
1110, 6lsslvec 20718 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
129, 11syldan 591 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
13123adant3 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
145, 7lspssid 20595 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
152, 4, 14syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
165, 7lspssv 20593 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
172, 4, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
1810, 5ressbas2 17181 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2015, 19sseqtrd 4022 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
21203adant3 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
2223adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2393adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
24153adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
25 eqid 2732 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Œ) = (LSpanβ€˜π‘Œ)
2610, 7, 25, 6lsslsp 20625 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}))
2722, 23, 24, 26syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}))
28193adant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2927, 28eqtr3d 2774 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
30 difid 4370 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…
3130fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
3332eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)))
3433biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
35 lveclmod 20716 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LVec β†’ π‘Œ ∈ LMod)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
3736, 25lsp0 20619 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3812, 35, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
4034, 39eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)})
41 elsni 4645 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)} β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
43 lmodgrp 20477 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
44 grpmnd 18825 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
452, 43, 443syl 18 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
46 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4746, 5, 70ellsp 32477 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
482, 4, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
4910, 5, 46ress0g 18652 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
5045, 48, 17, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
5150adantr 481 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
5242, 51eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = 0 )
5352ex 413 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑋 = 0 ))
5453necon3ad 2953 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
55543impia 1117 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
56 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
57 sneq 4638 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
5857difeq2d 4122 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}) = ({𝑋} βˆ– {𝑋}))
5958fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
6056, 59eleq12d 2827 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
6160notbid 317 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
6261ralsng 4677 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
63623ad2ant2 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
6455, 63mpbird 256 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
65 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
66 eqid 2732 . . . 4 (LBasisβ€˜π‘Œ) = (LBasisβ€˜π‘Œ)
6765, 66, 25islbs2 20766 . . 3 (π‘Œ ∈ LVec β†’ ({𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ) ↔ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))))
6867biimpar 478 . 2 ((π‘Œ ∈ LVec ∧ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
6913, 21, 29, 64, 68syl13anc 1372 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LBasisclbs 20684  LVecclvec 20712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lbs 20685  df-lvec 20713
This theorem is referenced by:  lsatdim  32697
  Copyright terms: Public domain W3C validator