Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 33304
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 38442 and for example lsatlspsn 38459. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbslsat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lbslsat.y π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20984 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 snssi 4807 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
3 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
63, 4, 5lspcl 20853 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
71, 2, 6syl2an 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 lbslsat.y . . . . 5 π‘Œ = (π‘Š β†Ύs (π‘β€˜{𝑋}))
98, 4lsslvec 20987 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
107, 9syldan 590 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
11103adant3 1130 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
123, 5lspssid 20862 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
131, 2, 12syl2an 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
143, 5lspssv 20860 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
151, 2, 14syl2an 595 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉)
168, 3ressbas2 17211 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1813, 17sseqtrd 4018 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
19183adant3 1130 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
201adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 eqid 2728 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Œ) = (LSpanβ€˜π‘Œ)
228, 5, 21, 4lsslsp 20892 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
2320, 7, 13, 22syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
24233adant3 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋}))
25173adant3 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2624, 25eqtrd 2768 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ))
27 difid 4366 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…
2827fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
3029eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…)))
3130biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…))
32 lveclmod 20984 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LVec β†’ π‘Œ ∈ LMod)
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
3433, 21lsp0 20886 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3510, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜βˆ…) = {(0gβ€˜π‘Œ)})
3731, 36eleqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)})
38 elsni 4641 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0gβ€˜π‘Œ)} β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Œ))
40 lmodgrp 20743 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
41 grpmnd 18890 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
4220, 40, 413syl 18 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
43 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4443, 3, 50ellsp 33075 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
451, 2, 44syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
468, 3, 43ress0g 18715 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4742, 45, 15, 46syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4847adantr 480 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘Œ))
4939, 48eqtr4d 2771 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 = 0 )
5049ex 412 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑋 = 0 ))
5150necon3ad 2949 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
52513impia 1115 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
53 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
54 sneq 4634 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
5554difeq2d 4118 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}) = ({𝑋} βˆ– {𝑋}))
5655fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
5753, 56eleq12d 2823 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
5857notbid 318 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
5958ralsng 4673 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
60593ad2ant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
6152, 60mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
62 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
63 eqid 2728 . . . 4 (LBasisβ€˜π‘Œ) = (LBasisβ€˜π‘Œ)
6462, 63, 21islbs2 21035 . . 3 (π‘Œ ∈ LVec β†’ ({𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ) ↔ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))))
6564biimpar 477 . 2 ((π‘Œ ∈ LVec ∧ ({𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜{𝑋}) = (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋} Β¬ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘Œ)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
6611, 19, 26, 61, 65syl13anc 1370 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LBasisβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173   β†Ύs cress 17202  0gc0g 17414  Mndcmnd 18687  Grpcgrp 18883  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848  LBasisclbs 20952  LVecclvec 20980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lbs 20953  df-lvec 20981
This theorem is referenced by:  lsatdim  33305
  Copyright terms: Public domain W3C validator