Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 30913
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 35992 and for example lsatlspsn 36009. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19807 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3 snssi 4733 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2818 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
85, 6, 7lspcl 19677 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
92, 4, 8syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
1110, 6lsslvec 19808 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
129, 11syldan 591 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13123adant3 1124 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
145, 7lspssid 19686 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
152, 4, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
165, 7lspssv 19684 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
172, 4, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
1810, 5ressbas2 16543 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2015, 19sseqtrd 4004 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21203adant3 1124 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
2223adant3 1124 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
2393adant3 1124 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24153adant3 1124 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25 eqid 2818 . . . . 5 (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
2610, 7, 25, 6lsslsp 19716 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
2722, 23, 24, 26syl3anc 1363 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28193adant3 1124 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2927, 28eqtr3d 2855 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30 difid 4327 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
3130fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
3332eleq2d 2895 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
3433biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35 lveclmod 19807 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3736, 25lsp0 19710 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3812, 35, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
4034, 39eleqtrd 2912 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g𝑌)})
41 elsni 4574 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0g𝑌)} → 𝑋 = (0g𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g𝑌))
43 lmodgrp 19570 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44 grpmnd 18048 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
452, 43, 443syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
4746, 5, 70ellsp 30861 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
482, 4, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4910, 5, 46ress0g 17927 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5045, 48, 17, 49syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5150adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g𝑌))
5242, 51eqtr4d 2856 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
5352ex 413 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
5453necon3ad 3026 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55543impia 1109 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
57 sneq 4567 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5857difeq2d 4096 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
5958fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
6056, 59eleq12d 2904 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6160notbid 319 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6261ralsng 4605 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63623ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6455, 63mpbird 258 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66 eqid 2818 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
6765, 66, 25islbs2 19855 . . 3 (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
6867biimpar 478 . 2 ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
6913, 21, 29, 64, 68syl13anc 1364 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LBasisclbs 19775  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lbs 19776  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  lsatdim  30914
  Copyright terms: Public domain W3C validator