Theorem lbslsat 33987

Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 39731 and for example lsatlspsn 39748. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lbslsat	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21208	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		snssi 4752	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
3		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	3, 4, 5	lspcl 21078	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
9	8, 4	lsslvec 21211	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
10	7, 9	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
11	10	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
12	3, 5	lspssid 21087	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
13	1, 2, 12	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
14	3, 5	lspssv 21085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
15	1, 2, 14	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
16	8, 3	ressbas2 17299	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
18	13, 17	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
19	18	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
20	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
22	8, 5, 21, 4	lsslsp 21117	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
23	20, 7, 13, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
24	23	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
25	17	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
26	24, 25	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
27		difid 4333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
28	27	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
30	29	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
31	30	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
32		lveclmod 21208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
34	33, 21	lsp0 21111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
35	10, 32, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
36	35	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
37	31, 36	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)})
38		elsni 4607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)} → 𝑋 = (0g‘𝑌))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g‘𝑌))
40		lmodgrp 20969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41		grpmnd 19008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
42	20, 40, 41	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
43		lbslsat.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	43, 3, 5	0ellsp 33665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
45	1, 2, 44	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
46	8, 3, 43	ress0g 18821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
47	42, 45, 15, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
48	47	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g‘𝑌))
49	39, 48	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
50	49	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
51	50	necon3ad 2971	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
52	51	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
53		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
54		sneq 4600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
55	54	difeq2d 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
56	55	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
57	53, 56	eleq12d 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
58	57	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
59	58	ralsng 4642	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
60	59	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
61	52, 60	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
62		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
63		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
64	62, 63, 21	islbs2 21259	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
65	64	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
66	11, 19, 26, 61, 65	syl13anc 1399	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  Grpcgrp 19001  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  LBasisclbs 21176  LVecclvec 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lbs 21177  df-lvec 21205

This theorem is referenced by:  lsatdim  33988