Theorem lbslsat 33918

Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 39607 and for example lsatlspsn 39624. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lbslsat	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21193	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		snssi 4747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
3		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	3, 4, 5	lspcl 21063	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
9	8, 4	lsslvec 21196	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
10	7, 9	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
11	10	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
12	3, 5	lspssid 21072	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
13	1, 2, 12	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
14	3, 5	lspssv 21070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
15	1, 2, 14	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
16	8, 3	ressbas2 17286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
18	13, 17	sseqtrd 3975	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
19	18	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
20	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
22	8, 5, 21, 4	lsslsp 21102	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
23	20, 7, 13, 22	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
24	23	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
25	17	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
26	24, 25	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
27		difid 4332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
28	27	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
30	29	eleq2d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
31	30	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
32		lveclmod 21193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
33		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
34	33, 21	lsp0 21096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
35	10, 32, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
36	35	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
37	31, 36	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)})
38		elsni 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)} → 𝑋 = (0g‘𝑌))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g‘𝑌))
40		lmodgrp 20954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41		grpmnd 18995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
42	20, 40, 41	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
43		lbslsat.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
44	43, 3, 5	0ellsp 33594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
45	1, 2, 44	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
46	8, 3, 43	ress0g 18808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
47	42, 45, 15, 46	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
48	47	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g‘𝑌))
49	39, 48	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
50	49	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
51	50	necon3ad 2973	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
52	51	3impia 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
53		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
54		sneq 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
55	54	difeq2d 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
56	55	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
57	53, 56	eleq12d 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
58	57	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
59	58	ralsng 4637	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
60	59	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
61	52, 60	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
62		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
63		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
64	62, 63, 21	islbs2 21244	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
65	64	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
66	11, 19, 26, 61, 65	syl13anc 1395	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  0_gc0g 17480  Mndcmnd 18780  Grpcgrp 18988  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  LSpanclspn 21058  LBasisclbs 21161  LVecclvec 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lbs 21162  df-lvec 21190

This theorem is referenced by:  lsatdim  33919