Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 31025
 Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 36158 and for example lsatlspsn 36175. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19854 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3 snssi 4714 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
43adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
85, 6, 7lspcl 19724 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
92, 4, 8syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
1110, 6lsslvec 19855 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
129, 11syldan 594 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13123adant3 1129 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
145, 7lspssid 19733 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
152, 4, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
165, 7lspssv 19731 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
172, 4, 16syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
1810, 5ressbas2 16534 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2015, 19sseqtrd 3983 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21203adant3 1129 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
2223adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
2393adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24153adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25 eqid 2821 . . . . 5 (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
2610, 7, 25, 6lsslsp 19763 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
2722, 23, 24, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28193adant3 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2927, 28eqtr3d 2858 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30 difid 4303 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
3130fveq2i 6646 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
3332eleq2d 2897 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
3433biimpa 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35 lveclmod 19854 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3736, 25lsp0 19757 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3812, 35, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3938adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
4034, 39eleqtrd 2914 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g𝑌)})
41 elsni 4557 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0g𝑌)} → 𝑋 = (0g𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g𝑌))
43 lmodgrp 19617 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44 grpmnd 18089 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
452, 43, 443syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
4746, 5, 70ellsp 30942 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
482, 4, 47syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4910, 5, 46ress0g 17918 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5045, 48, 17, 49syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 = (0g𝑌))
5150adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g𝑌))
5242, 51eqtr4d 2859 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
5352ex 416 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
5453necon3ad 3020 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55543impia 1114 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
57 sneq 4550 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5857difeq2d 4075 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
5958fveq2d 6647 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
6056, 59eleq12d 2906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6160notbid 321 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6261ralsng 4586 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63623ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6455, 63mpbird 260 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66 eqid 2821 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
6765, 66, 25islbs2 19902 . . 3 (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
6867biimpar 481 . 2 ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
6913, 21, 29, 64, 68syl13anc 1369 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  0gc0g 16692  Mndcmnd 17890  Grpcgrp 18082  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LBasisclbs 19822  LVecclvec 19850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lbs 19823  df-lvec 19851 This theorem is referenced by:  lsatdim  31026
 Copyright terms: Public domain W3C validator