Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsat 33644
Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 38958 and for example lsatlspsn 38975. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z 0 = (0g𝑊)
lbslsat.y 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
Assertion
Ref Expression
lbslsat ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2 snssi 4813 . . . . 5 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
3 lbslsat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lbslsat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
63, 4, 5lspcl 20992 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
71, 2, 6syl2an 596 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lbslsat.y . . . . 5 𝑌 = (𝑊s (𝑁‘{𝑋}))
98, 4lsslvec 21126 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
107, 9syldan 591 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
11103adant3 1131 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
123, 5lspssid 21001 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
131, 2, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
143, 5lspssv 20999 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
151, 2, 14syl2an 596 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
168, 3ressbas2 17283 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
1813, 17sseqtrd 4036 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
19183adant3 1131 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
201adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21 eqid 2735 . . . . . 6 (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
228, 5, 21, 4lsslsp 21031 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
2320, 7, 13, 22syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
24233adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋}))
25173adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
2624, 25eqtrd 2775 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
27 difid 4382 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
2827fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
3029eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
3130biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
32 lveclmod 21123 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
33 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3433, 21lsp0 21025 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3510, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g𝑌)})
3731, 36eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g𝑌)})
38 elsni 4648 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(0g𝑌)} → 𝑋 = (0g𝑌))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g𝑌))
40 lmodgrp 20882 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41 grpmnd 18971 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
4220, 40, 413syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
43 lbslsat.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
4443, 3, 50ellsp 33377 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
451, 2, 44syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
468, 3, 43ress0g 18788 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g𝑌))
4742, 45, 15, 46syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → 0 = (0g𝑌))
4847adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g𝑌))
4939, 48eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
5049ex 412 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
5150necon3ad 2951 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
52513impia 1116 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
53 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
54 sneq 4641 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
5554difeq2d 4136 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
5655fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
5753, 56eleq12d 2833 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
5857notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
5958ralsng 4680 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
60593ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
6152, 60mpbird 257 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
62 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
63 eqid 2735 . . . 4 (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
6462, 63, 21islbs2 21174 . . 3 (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
6564biimpar 477 . 2 ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
6611, 19, 26, 61, 65syl13anc 1371 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  lsatdim  33645
  Copyright terms: Public domain W3C validator