Theorem lbslsat 31699

Description: A nonzero vector 𝑋 is a basis of a line spanned by the singleton 𝑋. Spans of nonzero singletons are sometimes called "atoms", see df-lsatoms 36990 and for example lsatlspsn 37007. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbslsat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbslsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lbslsat.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lbslsat	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Proof of Theorem lbslsat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		snssi 4741	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
5		lbslsat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7		lbslsat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspcl 20238	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lbslsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↾s (𝑁‘{𝑋}))
11	10, 6	lsslvec 20369	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 ∈ LVec)
12	9, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LVec)
13	12	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ LVec)
14	5, 7	lspssid 20247	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
15	2, 4, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
16	5, 7	lspssv 20245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
17	2, 4, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
18	10, 5	ressbas2 16949	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
20	15, 19	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
21	20	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑌))
22	2	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
23	9	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	15	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
26	10, 7, 25, 6	lsslsp 20277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}))
28	19	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
29	27, 28	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌))
30		difid 4304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
31	30	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑌)‘∅))
33	32	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅)))
34	33	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘∅))
35		lveclmod 20368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
36		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
37	36, 25	lsp0 20271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
38	12, 35, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → ((LSpan‘𝑌)‘∅) = {(0g‘𝑌)})
40	34, 39	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)})
41		elsni 4578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(0g‘𝑌)} → 𝑋 = (0g‘𝑌))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = (0g‘𝑌))
43		lmodgrp 20130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
44		grpmnd 18584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
45	2, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Mnd)
46		lbslsat.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
47	46, 5, 7	0ellsp 31565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
48	2, 4, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	10, 5, 46	ress0g 18413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
50	45, 48, 17, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝑌))
51	50	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 0 = (0g‘𝑌))
52	42, 51	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))) → 𝑋 = 0 )
53	52	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) → 𝑋 = 0 ))
54	53	necon3ad 2956	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
55	54	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
56		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
57		sneq 4571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
58	57	difeq2d 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
59	58	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
60	56, 59	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
61	60	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
62	61	ralsng 4609	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
63	62	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
64	55, 63	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
65		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
66		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑌) = (LBasis‘𝑌)
67	65, 66, 25	islbs2 20416	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌) ↔ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
68	67	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ (Base‘𝑌) ∧ ((LSpan‘𝑌)‘{𝑋}) = (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋} ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑌)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))
69	13, 21, 29, 64, 68	syl13anc 1371	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LBasis‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385  Grpcgrp 18577  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LBasisclbs 20336  LVecclvec 20364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lbs 20337  df-lvec 20365

This theorem is referenced by:  lsatdim  31700