Theorem c0snghm 20721

Description: The constant mapping to zero is a group homomorphism from the trivial group (consisting of the zero only) to any group. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snghm	⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19177	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑆 ∈ Mnd)
2		grpmnd 19177	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Grp → 𝑇 ∈ Mnd)
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝐵 = {𝑍})
4		zrrhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5		zrrhm.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		zrrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
7		c0snmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	c0snmhm 20720	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1178	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
10		ghmmhmb 19467	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑇 GrpHom 𝑆) = (𝑇 MndHom 𝑆))
11	10	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
12	11	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
13	12	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
14	9, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949   MndHom cmhm 19002  Grpcgrp 19170   GrpHom cghm 19453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-mgmhm 18907  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-ghm 19454

This theorem is used by:  zrrnghm  20815