Theorem c0snghm 20429

Description: The constant mapping to zero is a group homomorphism from the trivial group (consisting of the zero only) to any group. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snghm	⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18928	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑆 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18928	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Grp → 𝑇 ∈ Mnd)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝐵 = {𝑍})
4		zrrhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5		zrrhm.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		zrrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
7		c0snmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	c0snmhm 20428	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
10		ghmmhmb 19215	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑇 GrpHom 𝑆) = (𝑇 MndHom 𝑆))
11	10	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
12	11	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
13	12	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
14	9, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717   MndHom cmhm 18764  Grpcgrp 18921   GrpHom cghm 19200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-mgmhm 18675  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-ghm 19201

This theorem is referenced by:  zrrnghm  20501