Theorem c0snghm 20534

Description: The constant mapping to zero is a group homomorphism from the trivial group (consisting of the zero only) to any group. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snghm	⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18995	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑆 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18995	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Grp → 𝑇 ∈ Mnd)
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝐵 = {𝑍})
4		zrrhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5		zrrhm.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		zrrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
7		c0snmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	c0snmhm 20533	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1176	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
10		ghmmhmb 19285	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑇 GrpHom 𝑆) = (𝑇 MndHom 𝑆))
11	10	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
12	11	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
13	12	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
14	9, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  Mndcmnd 18780   MndHom cmhm 18827  Grpcgrp 18988   GrpHom cghm 19271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-mgmhm 18738  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-grp 18991  df-ghm 19272

This theorem is referenced by:  zrrnghm  20609