Theorem c0snghm 20349

Description: The constant mapping to zero is a group homomorphism from the trivial group (consisting of the zero only) to any group. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snghm	⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18819	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑆 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18819	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Grp → 𝑇 ∈ Mnd)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝐵 = {𝑍})
4		zrrhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5		zrrhm.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		zrrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
7		c0snmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	c0snmhm 20348	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
10		ghmmhmb 19106	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑇 GrpHom 𝑆) = (𝑇 MndHom 𝑆))
11	10	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
12	11	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
13	12	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆) ↔ 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆)))
14	9, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18608   MndHom cmhm 18655  Grpcgrp 18812   GrpHom cghm 19091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-mgmhm 18566  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-ghm 19092

This theorem is referenced by:  zrrnghm  20421