Theorem grppropstr 19083

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstr	⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Proof of Theorem grppropstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3	1, 2	eqeltrri 2859	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
5	4	grpbase 17380	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐿))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
7	1, 6	eqtri 2785	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
8		grppropstr.p	. . 3 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) ∈ V
10	8, 9	eqeltrri 2859	. . . 4 ⊢ + ∈ V
11	4	grpplusg 17381	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐿))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐿)
13	8, 12	eqtri 2785	. 2 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
14	7, 13	grpprop 19082	1 ⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Grpcgrp 19063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066

This theorem is used by:  ring1  20458