Theorem grppropstr 18914

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstr	⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Proof of Theorem grppropstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		fvex 6905	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3	1, 2	eqeltrri 2822	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
5	4	grpbase 17266	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐿))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
7	1, 6	eqtri 2753	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
8		grppropstr.p	. . 3 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		fvex 6905	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) ∈ V
10	8, 9	eqeltrri 2822	. . . 4 ⊢ + ∈ V
11	4	grpplusg 17268	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐿))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐿)
13	8, 12	eqtri 2753	. 2 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
14	7, 13	grpprop 18913	1 ⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ‘cfv 6543  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Grpcgrp 18894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897

This theorem is referenced by:  ring1  20250