Theorem grppropstr 19196

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstr	⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Proof of Theorem grppropstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		fvex 6924	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3	1, 2	eqeltrri 2861	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
5	4	grpbase 17492	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐿))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
7	1, 6	eqtri 2786	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
8		grppropstr.p	. . 3 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		fvex 6924	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) ∈ V
10	8, 9	eqeltrri 2861	. . . 4 ⊢ + ∈ V
11	4	grpplusg 17493	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐿))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐿)
13	8, 12	eqtri 2786	. 2 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
14	7, 13	grpprop 19195	1 ⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  ndxcnx 17403  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  Grpcgrp 19176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179

This theorem is used by:  ring1  20574