Theorem grppropstr 17793

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstr	⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Proof of Theorem grppropstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		fvex 6446	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3	1, 2	eqeltrri 2903	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
5	4	grpbase 16350	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐿))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
7	1, 6	eqtri 2849	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
8		grppropstr.p	. . 3 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		fvex 6446	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) ∈ V
10	8, 9	eqeltrri 2903	. . . 4 ⊢ + ∈ V
11	4	grpplusg 16351	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐿))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐿)
13	8, 12	eqtri 2849	. 2 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
14	7, 13	grpprop 17792	1 ⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  {cpr 4399  ⟨cop 4403  ‘cfv 6123  ndxcnx 16219  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  Grpcgrp 17776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779

This theorem is referenced by:  ring1  18956