Theorem hfext 36178

Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfext	⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2723	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		unvdif 4441	. . . . 5 ⊢ ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
3	2	raleqi 3299	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ralv 3477	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6		ralunb 4163	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	1, 5, 6	3bitri 297	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		eldif 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
10	8, 9	mpbiran 709	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11		hfelhf 36176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
12	11	stoic1b 1773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14		hfelhf 36176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
15	14	stoic1b 1773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
17	13, 16	2falsed 376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	10, 17	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	biantrud 531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))))
21	7, 20	bitr4id 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   Hf chf 36167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-reg 9552  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-r1 9724  df-rank 9725  df-hf 36168

This theorem is referenced by: (None)