Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfext 35150
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2725 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2 unvdif 4474 . . . . 5 ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
32raleqi 3323 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵))
4 ralv 3498 . . . 4 (∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
53, 4bitr2i 275 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵))
6 ralunb 4191 . . 3 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
71, 5, 63bitri 296 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 vex 3478 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
9 eldif 3958 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
108, 9mpbiran 707 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11 hfelhf 35148 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1211stoic1b 1775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
1312adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
14 hfelhf 35148 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1514stoic1b 1775 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1615adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1713, 162falsed 376 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1810, 17sylan2b 594 . . . 4 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1918ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2019biantrud 532 . 2 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))))
217, 20bitr4id 289 1 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946   Hf chf 35139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-reg 9586  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-r1 9758  df-rank 9759  df-hf 35140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator