Theorem hfext 37009

Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfext	⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		unvdif 4428	. . . . 5 ⊢ ( HF ∪ (V ∖ HF )) = V
3	2	raleqi 3317	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ralv 3476	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr2i 279	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6		ralunb 4195	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	1, 5, 6	3bitri 300	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		eldif 4049	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ HF ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ))
10	8, 9	mpbiran 722	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ HF ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ HF )
11		hfelhf 9915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
12	11	stoic1b 1805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14		hfelhf 9915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
15	14	stoic1b 1805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HF ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
17	13, 16	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	10, 17	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ HF )) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	biantrud 541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))))
21	7, 20	bitr4id 293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149   HF chf 9905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-en 8975  df-dom 8976  df-fin 8978  df-r1 9769  df-rank 9770  df-hf 9906

This theorem is used by: (None)