Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfext 35650
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2717 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2 unvdif 4466 . . . . 5 ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
32raleqi 3315 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵))
4 ralv 3491 . . . 4 (∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
53, 4bitr2i 276 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵))
6 ralunb 4183 . . 3 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
71, 5, 63bitri 297 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 vex 3470 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
9 eldif 3950 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
108, 9mpbiran 706 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11 hfelhf 35648 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1211stoic1b 1767 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
1312adantlr 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
14 hfelhf 35648 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1514stoic1b 1767 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1615adantll 711 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1713, 162falsed 376 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1810, 17sylan2b 593 . . . 4 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1918ralrimiva 3138 . . 3 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2019biantrud 531 . 2 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))))
217, 20bitr4id 290 1 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  cdif 3937  cun 3938   Hf chf 35639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-reg 9583  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-r1 9755  df-rank 9756  df-hf 35640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator