Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfext 36147
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2733 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2 unvdif 4498 . . . . 5 ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
32raleqi 3332 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵))
4 ralv 3516 . . . 4 (∀𝑥 ∈ V (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
53, 4bitr2i 276 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵))
6 ralunb 4220 . . 3 (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
71, 5, 63bitri 297 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 vex 3492 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
9 eldif 3986 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
108, 9mpbiran 708 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11 hfelhf 36145 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1211stoic1b 1771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
1312adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐴)
14 hfelhf 36145 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
1514stoic1b 1771 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1615adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥𝐵)
1713, 162falsed 376 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1810, 17sylan2b 593 . . . 4 (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1918ralrimiva 3152 . . 3 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))
2019biantrud 531 . 2 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥𝐴𝑥𝐵))))
217, 20bitr4id 290 1 ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  Vcvv 3488  cdif 3973  cun 3974   Hf chf 36136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-r1 9833  df-rank 9834  df-hf 36137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator