Theorem hfext 36481

Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfext	⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2749	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		unvdif 4423	. . . . 5 ⊢ ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
3	2	raleqi 3312	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ralv 3474	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr2i 278	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6		ralunb 4144	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	1, 5, 6	3bitri 299	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8		vex 3452	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		eldif 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
10	8, 9	mpbiran 717	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11		hfelhf 36479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
12	11	stoic1b 1787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	adantlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14		hfelhf 36479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
15	14	stoic1b 1787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	adantll 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
17	13, 16	2falsed 378	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	10, 17	sylan2b 602	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	biantrud 538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))))
21	7, 20	bitr4id 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1552   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  Vcvv 3448   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   Hf chf 36470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-reg 9530  ax-inf2 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-r1 9712  df-rank 9713  df-hf 36471

This theorem is referenced by: (None)