Theorem hfext 37112

Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfext	⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2756	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		unvdif 4432	. . . . 5 ⊢ ( HF ∪ (V ∖ HF )) = V
3	2	raleqi 3321	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ralv 3480	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr2i 279	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6		ralunb 4198	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( HF ∪ (V ∖ HF ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	1, 5, 6	3bitri 300	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		eldif 4052	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ HF ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ))
10	8, 9	mpbiran 722	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ HF ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ HF )
11		hfelhf 9941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
12	11	stoic1b 1806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14		hfelhf 9941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HF ) → 𝑥 ∈ HF )
15	14	stoic1b 1806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HF ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
17	13, 16	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ HF ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	10, 17	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ HF )) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	biantrud 541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ HF )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))))
21	7, 20	bitr4id 293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HF (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152   HF chf 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005  df-r1 9795  df-rank 9796  df-hf 9932

This theorem is used by: (None)