Theorem hfext 36546

Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfext	⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem hfext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2758	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		unvdif 4432	. . . . 5 ⊢ ( Hf ∪ (V ∖ Hf )) = V
3	2	raleqi 3321	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ralv 3483	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr2i 279	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
6		ralunb 4152	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( Hf ∪ (V ∖ Hf ))(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	1, 5, 6	3bitri 300	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		eldif 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ))
10	8, 9	mpbiran 721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ Hf ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ Hf )
11		hfelhf 36544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
12	11	stoic1b 1796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
13	12	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
14		hfelhf 36544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
15	14	stoic1b 1796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
17	13, 16	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ Hf ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
18	10, 17	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) ∧ 𝑥 ∈ (V ∖ Hf )) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	biantrud 540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (V ∖ Hf )(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))))
21	7, 20	bitr4id 293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Hf ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Hf (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   Hf chf 36535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-r1 9724  df-rank 9725  df-hf 36536

This theorem is referenced by: (None)